Operador autoadjunto no negativo definido

Question

Dejemos que $G$ sea un operador autoadjunto no negativo definido en un espacio de Hilbert $H$ . Quiero demostrar que para todos $f,g\in H$ tenemos $$(Gf,h)^2\leq (Gf,f)(Gh,h).$$ ¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Esto es válido tanto si $G$ es definida no negativa o semidefinida no negativa. Por ejemplo, si es semidefinido no negativo, entonces se define un producto interno para cada $\epsilon > 0$ . $$ \langle f,g \rangle_{\epsilon} = (Gf,g)+\epsilon (f,g) $$ En consecuencia, se cumple la desigualdad de Cauchy-Schwarz: $$ |\langle f,g\rangle_{\epsilon}|^2\le \langle f,f\rangle_{\epsilon}\langle g,g\rangle_{\epsilon} $$ Dejar $\epsilon \downarrow 0$ da $$ |(Gf,g)|^2 \le (Gf,f)(Gg,g). $$