Hay más dimensiones análogos de curvatura seccional?

Question

Hace poco me enteré de que en colectores de Riemann, uno puede definir la curvatura seccional (http://en.wikipedia.org/wiki/Sectional_curvaturea) de un (2 dimensiones) plano de sección. Me preguntaba si un concepto similar existe para dimensiones superiores "espacio de las secciones."

Aquí es lo que me puso a pensar acerca de esto: De 2-dimensiones de los colectores (superficies), la seccional de curvatura es igual a $\kappa_1\kappa_2$ donde $\kappa_1$ $\kappa_2$ son los principales curvaturas. Hay un nombre para la cantidad de $\kappa_1\kappa_2\kappa_3$ para las 3-variedades, etc., y lo hace llevar similar geométrica significado?

(Edit: Composición fija)

Answer 1

Por supuesto, hay todo tipo de generalizaciones. Una manera de pensar de curvatura seccional es tomar una de 2 dimensiones subespacio del espacio de la tangente, exponentiate un pequeño barrio de el origen, y tomar la curvatura de Gauss en el punto de tangencia.

Dado un $k$-dimensiones subespacio del espacio de la tangente, exponentiate un pequeño barrio de $0$, y tomar el escalar de curvatura en el punto de tangencia.

Otra analogía se podría construir en es utilizar la comparación definición de curvatura seccional -- medición de la desviación infinitesimal de la longitud de un círculo (exponentiated de un 2-dimensional en el espacio de la tangente) de un determinado radio de la de un Euclidiana círculo. Usted podría hacer lo mismo para el contenido de las esferas de dimensión arbitraria en subespacios del espacio de la tangente, etc. Me imagino que estos dan muy relacionados con las nociones de curvatura aunque nunca he trabajado en los detalles.

Answer 2

En general el término "transversal de la curvatura" se utiliza en la n-dimensional de configuración. Básicamente uno calcula lo que se conoce en la teoría de las superficies, como "la Curvatura de Gauss" para la superficie conseguido por exponentiating cada dos avión en el interior del espacio de la tangente de la n-manifold. A continuación, se puede demostrar que las siguientes cosas para construir la intuición,

• Si dos de Riemann curvaturas están dando la misma seccional de curvatura para cada dos avión entonces la curvatura de Riemann son iguales como endomorphisms.

• Ricci curvatura a lo largo de una dirección es la suma de las curvaturas seccionales de todos los posibles dos planos atravesados por esa dirección y uno más de una base conseguido mediante la ampliación de la dirección dada.

• Escalar de curvatura en un punto es la suma de las curvaturas seccionales de todos los posibles dos planos atravesados por un elegido.

Un teorema de Schur dice que la curvatura seccional constante si en los 2 planos en un punto es constante en todo punto del colector. De la sección transversal de la curvatura es el más fuerte noción de curvatura y se hizo constante bajo muy fuertes condiciones como la máxima simetría o localmente geodésica reflejando isometría o transitiva de acción de la isometría grupo en ortonormales marcos.