¿Tiene toda equivalencia de operadas en la categoría de categorías pequeñas una inversa débil?

Question

Llamar a un mapa de operadas $\mathcal{O}\rightarrow \mathcal{U}$ en la categoría de categorías pequeñas una equivalencia, si cada functor $\mathcal{O}(n)\rightarrow \mathcal{U}(n)$ es una equivalencia de categorías.

Elección arbitraria de las inversiones $\mathcal{U}(n)\rightarrow \mathcal{O}(n)$ no se ensamblará a un mapa de operads. ¿Existe siempre una elección que lo haga? (suponiendo una versión suficientemente fuerte del axioma de elección)

Si no, ¿cuál sería un contraejemplo?

¿Mejora la situación si me limito a la categoría de grupos pequeños?

Answer 1

No, ni siquiera cuando se restringe a groupoides. De hecho, hay un contraejemplo en el libro de Fresse que citas (y se dice explícitamente en §I.5.2.2 que la inversa de aridad no siempre ensambla a un morfismo de operada, de hecho). Considere la equivalencia $\mathsf{PaB} \to \mathsf{CoB}$ de la operada de las trenzas con paréntesis a la operada de las trenzas con color (que son ambas operadas en los groupoides). No admite una inversa débil, ya que de hecho ni siquiera existe ningún morfismo en sentido inverso. Esto se puede ver en el nivel de los objetos: no hay manera de enviar el único elemento de aridad 2 en $\mathsf{CoB}$ a un elemento de $\mathsf{PaB}(2)$ y obtener un morfismo de operada (porque $m \in \mathsf{CoB}(2)$ satisface $m \circ_1 m = m \circ_2 m$ es decir, es asociativo, pero ningún elemento de $\mathsf{PaB}(2)$ satisface esta relación).

De hecho, estas "equivalencias categóricas" son equivalencias como en las "equivalencias débiles de espacios", sólo se pueden invertir bajo algunas condiciones (por ejemplo, objetos cofibrantes y fibrantes). El punto de estas equivalencias categóricas es que inducen equivalencias de operadas simpliciales después de aplicar el functor de espacio clasificador, véase el volumen II del libro mencionado anteriormente.