Quería hacer una pregunta sobre el uso de la diferenciación implícita para encontrar las coordenadas en las que una normal de una hipérbola se cruza en 2 lugares diferentes.
Estoy estudiando matemáticas avanzadas fundamentales, así que pido disculpas si el error en mi razonamiento parece obvio.
Se me planteó la siguiente pregunta:
Los puntos $P(4, 12)$ y $Q(-8, -6)$ se encuentran en la hipérbola rectangular $H$ con la ecuación $xy = 48$ .
La ecuación de la línea $PQ$ es dado a ser $3x - 2y + 12 = 0$ .
El punto $A$ se encuentra en $H$ . Lo normal es que $H$ en $A$ es paralela a la cuerda $PQ$ .
Encuentra las coordenadas exactas de las dos posibles posiciones de $A$
Dada la ecuación de la recta, el gradiente de la misma $PQ$ es $\frac{3}{2}$ por lo que el gradiente de la tangente en $H$ es $-\frac{2}{3}$ .
A continuación, intenté la diferenciación implícita de $xy = 48$ :
$$x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + y = 0$$ y desde aquí
$$-\frac{2}{3}x + y = 0$$
Sin embargo, estoy atascado aquí y no puedo seguir avanzando.
En las soluciones, la derivada de $y = \frac{48}{x}$ fue tomada y evaluada:
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{48}{x^2} = -\frac{2}{3}$$
para rendir
$$72 = x^2$$ y a partir de ahí llevar a la solución final.
La lucha a la que me enfrento es tratar de entender por qué la diferenciación implícita no funciona para guiarme a una solución final, a diferencia de la diferenciación explícita.
Es posible que haya cometido un error o que no me haya dado cuenta de las limitaciones de la diferenciación implícita en este contexto, pero me gustaría saber si es un error que he cometido o si no he considerado las limitaciones de la diferenciación implícita.
