El producto de cuatro enteros consecutivos no puede ser igual al producto de dos

Question

Pregunta 5

Demuestra que el producto de cuatro enteros positivos consecutivos no puede ser igual al producto de dos enteros positivos consecutivos.

Así que debe ser igual a $n(n+1)(n+2)(n+3)$ por lo que debe ser divisible por 24 (En la secuencia debe haber un factor de 4,2,3. Esto debe ser igual a $k(k+1)$ . Como $k$ y $k+1$ son co prime o $k$ o $k+1$ es divisible por 24, o una es divisible por 8 y la otra por 3.

Me quedo sin ideas ya que no me sale nada y las factorizaciones no parecen reveladoras. También he reconocido las dos fórmulas como 2*números triangulares y 24*suma de la suma de números triangulares, ambas aparecen en el triángulo de Pascal. Pero eso es más una observación interesante que algo útil en una prueba.

Agradecería que me indicaran cómo proceder.

Answer 1

$$n(n+1)(n+2)(n+3) = (n^2 + 3n)(n^2 + 3n +2)$$

Si $n^2 + 3n \geq k$ entonces $(n^2 + 3n)(n^2 + 3n +2) > k(k+1)$

Si $n^2 + 3n <k$ entonces $(n^2 + 3n)(n^2 + 3n +2) < k(k+1)$

Answer 2

$$(n^2+3n)(n^2+3n+1)\lt n(n+1)(n+2)(n+3)\lt(n^2+3n+1)(n^2+3n+2)$$