Si cada porción de $f : X \times Y\rightarrow Z$ es continua, entonces $f$ es continua?

Question

Tengo problemas para concluir mi prueba de la siguiente afirmación.

Si $f:X \times Y \rightarrow Z$ es una función tal que $f_x : Y \rightarrow Z$ dado por $f_x(y) = f(x,y)$ es continua para cada $x \in X$ y $f_y : X \rightarrow Z \ $ dado por $\ f_y(x) = f(x,y)$ es continua para cada $y \in Y\ $ entonces $f$ es continua

Esto es lo que he intentado, dado $(x,y) \in X \times Y$ y $\ U \in \tau_Z$ tal que $f(x,y) \in U$ tomamos $\ f_x, \ f_y$ funciones continuas, por lo que $f_x^{-1}(U) \in \tau_Y \text{ and } f_y^{-1}(U) \in \tau_X$ así que tomamos $V = f_y^{-1}(U) \times f_x^{-1}(U)$ que está abierto en $X \times Y$ y $(x,y) \in V$ .

Mi problema es cuando tengo que demostrar que $f(V) \subseteq U$ . Necesito ayuda

Edición: He visto algo similar aquí y utiliza fuertemente la compacidad, por lo que esto es probablemente falso, pero no sé cómo puede ser una función que cada uno es continua, pero no la función completa.

Answer 1

Esto no es correcto en general. Tomemos por ejemplo la función $f = \begin{cases} \frac{xy^2}{x^2+y^4} \ , \quad &(x,y)\neq (0,0) \\ 0 \ , \quad &\text{otherwise} \end{cases}$ .

Entonces, $f_x$ es continua para cada $x \in \mathbb{R}$ y $f_y$ es continua para cada $y \in \mathbb{R}$ . Pero $f$ no es continua en $(0,0)$ ya que $f(x,0)=0 \to 0$ pero $f(y^2,y)=\frac{1}{2} \to \frac{1}{2}$ (como $(x,y)\to (0,0)$ ).

Answer 2

Al menos en el contexto de $X=Y=[0,1]$ y $Z=\mathbb{R}$ Esto es esencialmente lo mismo que

Si $(g_n)_{n\geq 1}$ es una secuencia de funciones continuas $[0,1] \to \mathbb{R}$ que converge puntualmente a la función continua $g$ entonces $g_n$ converge a $g$ de manera uniforme.

que es falso. Por ejemplo, podemos considerar la secuencia $$g_n(x) = \begin{cases}nx(1-nx) & 0 \leq x < \frac{1}{n} \\ 0 & \text{ otherwise}\end{cases}$$ que converge a $g(x) = 0$ en cuanto a los puntos, pero $g_n(1/(2n)) = \frac{1}{4} \not\to 0,$ así que $g_n$ no converge a $g$ de manera uniforme.

Para este ejemplo en particular, podemos crear nuestro $f$ sustituyendo formalmente $n$ con $1/y$ para conseguir $$f(x,y) = \begin{cases}\frac{x}{y}\left(1-\frac{x}{y}\right) & 0 \leq x < y \\ 0 & \text{ otherwise}\end{cases}.$$

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En general, si tenemos una secuencia $g_n \to g$ de forma puntual pero no uniforme, entonces definimos $f : [0,1]^2 \to \mathbb{R}$ por $$f(x,y) = \begin{cases}\left(n+1-\frac{1}{y}\right)g_n(x) + \left(\frac{1}{y} - n\right)g_{n+1}(x) & \text{ if } y > 0, n=\lfloor 1/y\rfloor \\ g(x) & \text{ if } y=0\end{cases}$$

Dado que las funciones $g$ y $(g_n)_{n\geq 1}$ son continuas, cada $f(\cdot, y)$ es continua. Como $g_n \to g$ en el sentido de la palabra, cada $f(x,\cdot)$ es continua.

Sin embargo, se puede utilizar la compacidad de $X=[0,1]$ junto con la suposición $g_n$ no converge a $g$ uniformemente para demostrar que $f$ no es continua en algún punto $(x,0)$ .

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Por el contrario, si $f : [0,1]^2 \to \mathbb{R}$ fuera una función con cortes continuos pero no continua en $(a,b)$ entonces hay una secuencia de puntos $(a_n,b_n) \in [0,1]^2$ tal que $(a_n,b_n) \to (a,b)$ pero $f(a_n,b_n) \not\to f(a,b)$ . Entonces podemos definir $$g_n(x) = f(x,b_n) \\ g(x) = f(x,b).$$ Una vez más, ya que $f$ tenía cortes continuos, estas funciones son continuas y $g_n \to g$ en cuanto a los puntos, pero $g_n(a_n) \not\to g(a)$ por lo que la convergencia no es uniforme.