Calcular la varianza de la variable aleatoria $X$

Question

Una variable aleatoria tiene la función de distribución acumulativa $$F(x)=\begin{cases} 0 & x<1\\\frac{x^2-2x+2}{2}&x\in[1,2)\\1&x\geq2\end{cases}.$$ Calcule la varianza de $X$ .

Primero diferencié la función de distribución para obtener la función de densidad, $f_X(x)=x-1$ , para $x\in[1,2)$ y luego calculé $$E(X^2)-[E(X)]^2=\int_1^2x^2(x-1)dx-\bigg(\int_1^2x(x-1)dx\bigg)^2=\frac{13}{18}.$$ Sin embargo, la respuesta correcta es $\frac{5}{36}$ . ¿Por qué es correcta esa respuesta? Yo creía que $var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$ ?

Además, ¡feliz Navidad!

Answer 1

Tenga en cuenta que $X$ no tiene una distribución continua. Para $F(x)$ se acerca a $0$ como $x$ se acerca a $1$ desde la izquierda, mientras que $F(1)=1/2$ .

Así que hay una masa puntual de $1/2$ en $x=1$ . Esto debe tenerse en cuenta tanto para el cálculo de $E(X)$ y de $E(X^2)$ . (Su expresión para la varianza en términos de $E(X)$ y $E(X^2)$ es correcto).

Answer 2

Un truco útil para las variables aleatorias no negativas es nota que :

$E[X] = \int_0^\infty (1- F(x)) dx$

$E[X^2] = 2 \int_0^\infty x (1- F(x)) dx$

(Se pueden derivar por integración por partes. No hay que preocuparse por las masas puntuales, que tienes como señaló André Nicolas).

Así, $E[X] = \int_0^1 1 dx + \int_1^2 (1- \frac{x^2-2x+2}{2}) dx$ . De la misma manera, $E[X^2] = 2 \left( \int_0^\infty x dx+ \int_1^2 x(1- \frac{x^2-2x+2}{2}) dx \right)$ .

A continuación, aplique $var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$ como usted dijo.