$B(\chi), L'(1,\chi)/L(1,\chi),\dotsc$

Question

Dejemos que $\chi$ sea un carácter primitivo de Dirichlet de módulo $q>1$ . Escribe, como es costumbre, $B(\chi)$ para la constante en la expresión $$\frac{\Lambda'(s,\chi)}{\Lambda(s,\chi)} = B(\chi) + \sum_\rho \left(\frac{1}{s-\rho} + \frac{1}{\rho}\right),$$ donde $\Lambda(s,\chi)$ es un Dirichlet completo $L$ -función y $\sum_\rho$ es una suma sobre sus ceros. Obviamente, $B(\chi) = \Lambda'(0,\chi)/\Lambda(0,\chi)$ . Desde $$\frac{L'(s,\chi)}{L(s,\chi)} = \frac{\Lambda'(s,\chi)}{\Lambda(s,\chi)} - \frac{1}{2} \frac{\Gamma'((s+\kappa)/2)}{\Gamma((s+\kappa)/2)} - \frac{1}{2} \log \frac{q}{\pi},$$ donde $\kappa = [\chi(-1)=-1]$ vemos que $$B(\chi) = b(\chi) - \frac{\gamma}{2} - \kappa \log 2 + \frac{1}{2} \log \frac{q}{\pi},$$ donde $b(\chi)$ es el término constante en la expansión de Laurent de $L'(s,\chi)/L(s,\chi)$ alrededor de $s=0$ . Podemos demostrar fácilmente que $$b(\chi) = \log \frac{2\pi}{q} + \gamma - \frac{L'(1,\overline{\chi})}{L(1,\overline{\chi})}$$ tomando logaritmos en ambos lados de la ecuación funcional. Obtenemos así que $$B(\chi) = \frac{1}{2} \log \frac{4^{1-\kappa} \pi}{q} + \frac{\gamma}{2} - \frac{L'(1,\overline{\chi})}{L(1,\overline{\chi})}.$$

Me parece claro que esta expresión para $B(\chi)$ debe ser (muy) clásico. Ahora, buscando en Montgomery-Vaughan algo más, veo que, en la sección 10.3, afirma que "La constante $B(\chi)$ ... fue considerado durante mucho tiempo como misterioso; la simple fórmula (10.39) para ello [es decir, la expresión para $B(\chi)$ aquí] se debe a Vorhauer (2006)". Aquí Vorhauer (2006) es un preprint no publicado (no accesible en línea). Con mucho gusto daré crédito a quien lo merece, pero no puedo evitar pensar que esta expresión debía ser conocida mucho antes de 2006. ¿Alguien tiene una referencia anterior?

(¿Y qué tendría de misterioso $B(\chi)$ ? En mi opinión, es simplemente complicado por la misma razón que $L'(1,\chi)/L(1,\chi)$ es decir, la posibilidad de un cero de Siegel. ¿O es que no tenemos una expresión para ello tan bonita como la fórmula del número de clase? (¿Lo tenemos? EDIT: para $\chi$ impar, lo hacemos; véase la Prop. 10.3.5 (debido a...?) en la Teoría de los Números de Henri Cohen). Sobre la cuestión de la limitación, véase $|L'(1,\chi)/L(1,\chi)|$ .)

Answer 1

Cuando era estudiante de posgrado en la Universidad de Michigan (esto sería a mediados de la década de 1990), tomé una clase de teoría analítica de números de Montgomery, a partir de apuntes que con el tiempo se convertirían en su libro con Vaughan. Recuerdo haber aprendido directamente de Montgomery en esa clase que la parte real de $B(\chi)$ podría escribirse en términos de los ceros de $L(s,\chi)$ pero que la parte imaginaria era realmente misteriosa.

Quizás parte de nuestro bloqueo mental como disciplina era que la fórmula habitual de $\Re B(\chi)$ contenía el término $\Re \dfrac{L'}L(1,\chi)$ mientras que la fórmula de Vorhauer para $B(\chi)$ resulta contener el término $\dfrac{L'}L(1,\overline\chi)$ en lugar de $\dfrac{L'}L(1,\chi)$ . (Obsérvese que la fórmula que aparece en su puesto contiene una omisión a este respecto).

En cualquier caso, dada la oportunidad de esta información, y el hecho de que Montgomery es una figura central en la teoría analítica clásica de números que también se dedica a conocer su literatura, estoy seguro de que la fórmula en cuestión se debe efectivamente a Ulrike Vorhauer, como se ha señalado. Creo que lo correcto es atribuir a Vorhauer el descubrimiento de la fórmula y citar el libro de Montgomery y Vaughan como la mejor fuente que tenemos.

Editado para añadir : He comprobado el libro de Davenport, y la fórmula que da para $B(\chi)$ en la parte superior de la página 83 no es la misma que la fórmula de Vorhauer (una suma infinita sobre ceros sigue estando presente en la fórmula de Davenport). La cita "puede expresarse en términos de la expansión de $L'/L$ en los poderes de $s$ " no implica en absoluto que la fórmula de Vorhauer fuera conocida (por ejemplo, no da ninguna pista de que la distinción entre $\chi$ y $\bar\chi$ es relevante); sólo corresponde a uno de los primeros pasos del boceto de la OP. Además, el propio Montgomery revisó el libro de Davenport; es difícil creer que, habiendo leído detenidamente la página 83 de Davenport, atribuyera la fórmula a alguien que no fuera Davenport si esa página fuera una fuente suficiente para la fórmula.

Una cosa es decir que Davenport y los que le precedieron podría han derivado la fórmula (eso parece claro). Pero las pruebas que tenemos apuntan a la conclusión de que nadie en realidad derivó la fórmula de Vorhauer hasta que lo hizo. Este tipo de cosas ocurren siempre. Seguimos dando crédito a los descubridores reales (Vorhauer, en este caso); no consideramos el resultado "clásico" basándonos en nuestra sensación.

Edición 2 : Al parecer, el artículo de Vorhauer fue aceptado en Acta Arithmetica, pero el proceso de publicación se estancó en la fase de pruebas de imprenta.