Cómo calcular con valor absoluto.

Question

Calcula: $$\frac{ \left| x \right| }{2}= \frac{1}{x^2+1}$$

¿Cómo escribo todo el proceso para que sea correcto? Necesito algunas sugerencias. Gracias.

Answer 1

Dividirlo en dos casos. El primer caso es $$\frac{x}{2}=\frac{1}{x^2+1}.$$ Si tiene una solución positiva (o más de una), es una solución válida. El segundo caso es $$\frac{-x}{2}=\frac{1}{x^2+1}.$$ Si tiene una solución negativa (o más de una), entonces es una solución válida.

Las soluciones válidas de ambos casos son todas sus soluciones al problema original.

Answer 2

Dejemos que $y = \vert x \rvert \ge 0$ . Entonces tienes

$$y(y^2+1)=2 \implies y^3 +y - 2 = 0 \implies (y-1)(y^2+y+2)=0$$

El segundo factor no puede ser cero para los casos no negativos $y$ Así que sólo tienes una solución $y=1 \implies x = \pm1$ .

Answer 3

Si $x=a+ib$ donde $a,b$ son reales

Tenemos $$\frac{\sqrt{a^2+b^2}}2\left(a^2-b^2+2abi+1\right)=1$$

Igualando las partes imaginarias, $\displaystyle ab=0$

Si $\displaystyle a=0, \frac{|b|}2(1-b^2)=1$

Utilizar para el real $b,|b|=\begin{cases} +b &\mbox{if } b\ge0 \\ -b & \mbox{if } b<0\end{cases}$

Si $\displaystyle b=0, \frac{|a|}2(1+a^2)=1$

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Establecer $x=r(\cos\phi+i\sin\phi)$ donde $r>0, \phi$ son reales

Así que usando la fórmula de De Moivre, $ x^2=r^2(\cos2\phi+i\sin2\phi)$

Así que tenemos $\displaystyle \frac r2\left(r^2(\cos2\phi+i\sin2\phi)+1\right)=1$

Igualando las partes imaginarias, $\displaystyle r^3\sin2\phi=0$

Claramente, $\displaystyle r\ne0\implies \sin2\phi=0\implies2\cos\phi\sin\phi=0$

Si $\displaystyle\sin\phi=0, r^3+r-2=0$

Claramente, $r=1$ es una solución, así que resuelve la ecuación cuadrática $\displaystyle\frac{r^3+r-2}{r-1}=0$

Si $\displaystyle\cos\phi=0, r^3-r+2=0$ cuya solución no es tan suave

Answer 4

Por "calcular", supongo que quiere decir "resolver para $x$ ". En ese caso, basta con escribir dos variaciones de la ecuación:

$$\frac{ x }{2}=\frac{1}{x^2+1}$$

y

$$\frac{ -x }{2}=\frac{1}{x^2+1}.$$

El conjunto de soluciones de tu ecuación original es la unión de los conjuntos de soluciones de estas dos.

Answer 5

Me gustaría ofrecer un enfoque diferente al intento de @labbhattacharjee de resolver la ecuación sobre $\mathbb C$ .

$$\frac{|x|}{2}=\frac{1}{x^2+1}$$

El lado izquierdo es real, así que como mínimo el lado derecho tiene que ser real. La inversa de un número real es real, por lo que $x^2+1$ es real, y los reales son cerrados bajo la adición, por lo que $x^2$ es real. Así, $x$ es puramente imaginario o puramente real. Este último caso ya ha sido resuelto, y en el caso anterior, la ecuación se reduce a:

$$\frac{|\Im(x)|}{2}=\frac{1}{-\Im(x)^2+1}$$

Que presumiblemente puede resolverse para una variable real de forma muy similar a la ecuación original.