Matriz exponencial $\exp(tJ)$ : ¿Es un error en la solución de este ejercicio?

Question

Acabo de resolver otro problema pero mi resultado es diferente a la solución y sospecho que puede ser un error en la solución.

¿Puede alguien confirmar que se trata de un error en la solución?

La matriz $J$ se da de la siguiente manera:

$$ J = \begin{pmatrix} -3 & 1 & 0\\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$

y la exponencial de la matriz se da como sigue:

$$\exp(t J) = \begin{pmatrix} e^{-3t} & t e^{-3t} & 0\\ 0 & e^{-3t} & 0 \\ 0 & 0 & e^{-t} \end{pmatrix} $$

Pero debería serlo:

$$ \left( \begin{matrix} e^{-3t} & e^t & 1\\ 1 & e^{-3t} & 1\\ 1 & 1 & e^{-t} \end{matrix} \right)$$

¿Verdad? Porque $e^{t 0} = 1$ y $e^{1t} = e^t$ .

Answer 1

La matriz exponencial se define por $$\exp{tJ} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(tJ)^k}{k!}$$ Entonces existe el teorema de que si $J= D+N$ y $DN=ND$ podemos dividir el exponencial de la siguiente manera: $\exp({tJ}) = \exp({tD})\exp({tN})$ . Otro teorema (sobre la llamada descomposición de Jordan) afirma que cualquier matriz $A$ se puede dividir de forma única como $A=D+N$ con $DN=ND$ donde $D$ es diagonalizable y $N$ es nilpotente. Esta descomposición es obvia en ese caso porque $J$ ya tiene la forma normal de Jordan. Esto lo hacemos aquí con $$D= \begin{pmatrix} -3&0&0\\0&-3&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$$ $$N=\begin{pmatrix} 0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$$ Es fácil ver que estas dos matrices conmutan (simplemente calculando). Para una matriz diagonal es cierto que $$\exp(tD) = \begin{pmatrix} e^{-3t}&0&0\\0&e^{-3t}&0\\0&0&e^{-1t}\end{pmatrix}$$ porque los poderes de $D$ que se suman en la suma infinita sólo dará la suma $$\sum_{k=0}^\infty \frac{(t d_{ii})^k}{k!}$$ en el $i$ -ésima columna y $i$ -Esto sólo funciona para las matrices diagonales, ya que, de lo contrario, las potencias $D^k$ no será tan fácil de describir.

Para $N$ utilizamos la definición: $$\exp(tN)=I + tN + t^2 \frac{N^2}{2} + \dots$$ En nuestro caso vemos que $N^2=0$ por lo que todos los poderes superiores son también $=0$ . Esto significa que $$\exp(tN)=\begin{pmatrix} 1&t&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$

De ahí obtenemos $$\exp(tJ) = \exp(tD)\exp(tN) = \begin{pmatrix} e^{-3t}&te^{-3t}&0\\0&e^{-3t}&0\\0&0&e^{-t}\end{pmatrix}$$ tal y como indica la solución que se le ha dado.