¿Cuándo se convierte la desigualdad de Schwarz en una igualdad?

Question

En el Cálculo de Spivak se le pide que demuestre que en la desigualdad de Schwarz, la igualdad se mantiene sólo cuando $y_1 = y_2 = 0$ o cuando hay un número $\lambda$ tal que $x_1 = \lambda y_1$ y $x_2 = \lambda y_2$ .

Puedo ir de $x_1y_1 + x_2y_2 = \sqrt{x_1^2 + x_2^2} + \sqrt{y_1^2 + y_2^2}$ a $x_1y_2 = x_2y_1$ pero entonces me quedé atascado, ¿o es que la implicación es al revés?

Answer 1

$|\langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle|=\|\mathbf{x}\|\,\|\mathbf{y}\| \iff \mathbf{x}$ y $\mathbf{y}$ son depende linealmente es decir, si $\mathbf{x}=\lambda\mathbf{y}$ (o, trivialmente, si $\mathbf{x}$ o $\mathbf{y}$ es cero; maneja esto primero para quitarlo de en medio).

( $\implies$ ): Sigue el argumento normal de la desigualdad de Schwarz, pero la igualdad forzará $\mathbf{x}={\langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle\over \langle\mathbf{y},\mathbf{y}\rangle}\mathbf{y}$

( $\Longleftarrow$ ): Sustituir $\mathbf{x}=\lambda\mathbf{y}$ .

Answer 2

Desde $$ \left(x_1^2+x_2^2\right)\left(y_1^2+y_2^2\right)-(x_1y_1+x_2y_2)^2=(x_1y_2-x_2y_1)^2 $$ obtenemos la igualdad si y sólo si $x_1y_2=x_2y_1$ .