Pruebas contundentes de que dos puntos de base son mejores que uno

Question

Esta pregunta se inspira en una respuesta de Tim Porter .

Ronnie Brown fue pionero en la creación de un marco para la teoría de la homotopía en el que se pueden considerar múltiples puntos de base. Estas ideas se presentan de forma accesible en su libro Topology and Groupoids. La idea del grupo fundamental, presentada como una alternativa de múltiples puntos base al grupo fundamental, es el punto culminante de la teoría. El resultado principal parece ser que el Teorema de van-Kampen parece más natural en el contexto de los groupoides.
No sé si este resultado del titular me convence, ya que la carga adicional de los grupúsculos y los empujones me hace cuestionar si la recompensa merece la pena, sobre todo porque soy una persona de topología geométrica, más que un teórico de la homotopía.

¿Tiene usted ejemplos en topología geométrica (3 manifolds, 4 manifolds, marañas, trenzas, nudos y enlaces...) en los que el concepto de groupoide fundamental haya sido útil, en el sentido de que haya conducido a nuevos teoremas o a un tratamiento sustancialmente simplificado de temas conocidos?

Un lugar en el que puedo imaginar (pero, por falta de pruebas, sólo imaginar) que los groupoides fundamentales podrían ser útiles (al menos para simplificar la exposición) es en la teoría de los nudos, donde cambiamos constantemente entre (al menos) tres opciones "naturales" diferentes de punto base: en el propio nudo, en el límite de una vecindad tubular y en el complemento del nudo. Este cambio de punto base añade una desagradable complejidad técnica con la que he tenido que luchar al escribir artículos. Una prueba reciente (Proposición 8 de mi papel con Kricker ) que habrían sido unas pocas líneas si no hubiéramos tenido que preocuparnos por los puntos de base, se convirtieron en 3 páginas. En otra dirección, ¿qué pasa con los grupos fundamentales de las trenzas?
¿Se han explorado las ideas de los groupoides fundamentales en contextos topológicos geométricos? Y si no, ¿por qué no?

Answer 1

La prueba de Crisp y Paris de la conjetura de Tits de que el subgrupo de un grupo de Artin generado por los cuadrados de los generadores es a su vez un grupo de Artin de ángulo recto utiliza los groupoides de manera esencial. Para cada grupo de Artin de tipo pequeño, construyen una superficie con frontera pegando ánulos a lo largo de cuadrados y marcan cada cuadrado con un punto base, y luego estudian la acción del grupo de Artin sobre el groupoide fundamental (con respecto a un punto base que corresponde a los cuadrados pegados) del gráfico obvio que es una deformación retraída de esta superficie. De este modo, construyen una representación de dicho grupo de Artin en automorfismos del groupoide fundamental de un grafo. Aquí está la referencia:

Crisp y Paris, ``La solución a una conjetura de Tits sobre el subgrupo generado por los cuadrados de los generadores de un grupo de Artin'', Invent. Math. 145 (2001).

Answer 2

El ejemplo más convincente que he encontrado de que "dos puntos de base son mejores que uno" es la afirmación incorrecta del resultado principal del siguiente artículo:

Garoufalidis, Stavros, y Andrew Kricker. "Una visión quirúrgica de los enlaces de frontera". Mathematische Annalen 327.1 (2003): 103-115. arXiv:math/0205328

y su versión corregida aquí:

Habiro, Kazuo, y Tamara Widmer. "Sobre el cálculo de Kirby para enlaces enmarcados nulos-homotópicos en 3 manifolds". Algebraic & Geometric Topology 14.1 (2014): 115-134. arXiv:1302.0612

El resultado implica un teorema de Kirby para los enlaces enmarcados en ciertas clases de complementos de enlace. La condición para que la afirmación sea cierta es que un determinado diagrama conmutativo conmute. El diagrama para los grupos fundamentales no conmuta en general, pero sí lo hace para los groupoides fundamentales, y esto implica el teorema de Kirby deseado.

A continuación se ofrecen más detalles.

La topología cuántica de los nudos, los enlaces y los 3-manifolds es el estudio de los invariantes topológicos construidos diagramáticamente. El núcleo duro de cualquier construcción de este tipo es un teorema que se traduce de la topología a la combinatoria de una clase de diagramas. En la topología de los 3 maniquíes, éste es el teorema de Kirby. El teorema de Kirby afirma que dos 3-manifolds son homeomórficos si y sólo si se obtienen de la cirugía de Dehn en los enlaces $L$ y $L^\prime$ correspondientemente tal que $L^\prime$ puede obtenerse de $L$ por una secuencia de los llamados Kirby se mueve : Estabilización y deslizamiento del mango.

Para obtener un sistema cuántico-topológico $3$ --manifold invariante, la receta es definir un invariante topológico cuántico para un diagrama de enlace enmarcado, y modelar a cabo por las relaciones inducidas por la estabilización y y mango-deslizamiento. Esto resulta ser realizable y este procedimiento ha dado lugar a invariantes interesantes, como el invariante OVM.

Para los enlaces en general $3$ --manifolds, Fenn y Rourke demostraron que el resultado análogo se mantiene si permitimos un tercer movimiento: la circuncisión. Desde el punto de vista cuántico-topológico, esto no nos ayuda porque la circuncisión es un movimiento demasiado violento: si lo modificamos, los invariantes resultantes suelen morir. Fenn y Rourke demostraron que podíamos prescindir de la circuncisión cuando un determinado diagrama de grupos fundamentales de 4 manifolds (cobordismos definidos por las respectivas cirugías) conmuta. Los resultados de Fenn--Rourke se generalizaron a $3$ --manifolds con límite por Roberts.

Kricker y Garoufalidis consideraron una cierta clase restringida de $3$ --manifolds con complementos de frontera---- de los llamados enlaces de frontera. Argumentan que el diagrama de Fenn-Rourke es conmutativo, pero no lo es a menos que el enlace de frontera sea un nudo. Como demuestran Habiro y Widmer, sólo conmuta cuando colocamos un punto base en cada componente del límite.