Pruebas contundentes de que dos puntos de base son mejores que uno

Question

Esta pregunta se inspira en una respuesta de Tim Porter .

Ronnie Brown fue pionero en la creación de un marco para la teoría de la homotopía en el que se pueden considerar múltiples puntos de base. Estas ideas se presentan de forma accesible en su libro Topology and Groupoids. La idea del grupo fundamental, presentada como una alternativa de múltiples puntos base al grupo fundamental, es el punto culminante de la teoría. El resultado principal parece ser que el Teorema de van-Kampen parece más natural en el contexto de los groupoides.
No sé si este resultado del titular me convence, ya que la carga adicional de los grupúsculos y los empujones me hace cuestionar si la recompensa merece la pena, sobre todo porque soy una persona de topología geométrica, más que un teórico de la homotopía.

¿Tiene usted ejemplos en topología geométrica (3 manifolds, 4 manifolds, marañas, trenzas, nudos y enlaces...) en los que el concepto de groupoide fundamental haya sido útil, en el sentido de que haya conducido a nuevos teoremas o a un tratamiento sustancialmente simplificado de temas conocidos?

Un lugar en el que puedo imaginar (pero, por falta de pruebas, sólo imaginar) que los groupoides fundamentales podrían ser útiles (al menos para simplificar la exposición) es en la teoría de los nudos, donde cambiamos constantemente entre (al menos) tres opciones "naturales" diferentes de punto base: en el propio nudo, en el límite de una vecindad tubular y en el complemento del nudo. Este cambio de punto base añade una desagradable complejidad técnica con la que he tenido que luchar al escribir artículos. Una prueba reciente (Proposición 8 de mi papel con Kricker ) que habrían sido unas pocas líneas si no hubiéramos tenido que preocuparnos por los puntos de base, se convirtieron en 3 páginas. En otra dirección, ¿qué pasa con los grupos fundamentales de las trenzas?
¿Se han explorado las ideas de los groupoides fundamentales en contextos topológicos geométricos? Y si no, ¿por qué no?

Answer 1

En mi prueba de que los grupos de clases de mapeo son automáticos, Ann. of Math. (2) 142 (1995), nº 2, 303-384, utilicé un teorema del ECHLPT "Word Processing in Groups" que dice que si un groupoide es automático entonces el grupo correspondiente es automático.

Ese teorema se aplicó en la situación de una superficie de tipo finito $S$ con una o varias puntuaciones, utilizando el groupoide mencionado en la respuesta de Bruno Martelli, que ha pasado a llamarse "groupoide de Ptolomeo" de $S$ debido a las conexiones con el trabajo de Robert Penner. Este grupo debe ser alterado ligeramente para los propósitos de mi prueba, añadiendo datos que rompen el grupo de simetría finito de una triangulación ideal. Los datos que he añadido son una enumeración de las puntas de la triangulación, de modo que los objetos del grupo resultante son "triangulaciones ideales con puntas enumeradas". Los morfismos generadores de este groupoide son de dos tipos: permutaciones de la enumeración; y los relatores de volteo mencionados por Bruno Martelli, llamados "movimientos elementales" en mi trabajo, junto con alguna regla para enumerar las puntas de la nueva triangulación ideal resultante del movimiento elemental.

El grupo correspondiente a este groupoide resulta ser el grupo de la clase de mapeo de $S$ y por lo tanto el teorema de ECHLPT es aplicable.

Answer 2

Sólo quería añadir algo a la discusión sobre la utilidad de añadir puntos de base adicionales. Resulta que esto es crucial para entender ciertos aspectos de la teoría de la incrustación. Ver la parte inferior de esta respuesta para una explicación.

Para un mapa de espacios $A \to B$ , dejemos que $\text{Top}(A\to B)$ sea la categoría de espacios que factorizan este mapa. Esta tiene objetos dados por factorizaciones $A \to X \to B$ y mapas de morfismos $X \to X'$ que son compatibles con la factorización en el sentido obvio. Consideremos el caso del mapa constante $S^0 \to \ast$ . Evidentemente, un objeto de $\text{Top}(S^0\to \ast)$ es sólo un espacio con un par de puntos base preferidos.

Entonces sin reducir la suspensión puede ser considerada como un functor $$ S: \text{Top}(\emptyset \to \ast) \to \text{Top}(S^0 \to *) . $$ Es decir, el functor que asigna a un espacio no basado su suspensión no reducida, considerado como un espacio con dos puntos de base.

Ahora una pregunta de desuspensión en este contexto pregunta dado un objeto $X \in \text{Top}(S^0 \to *)$ ¿hay algún objeto $Y \in \text{Top}(\emptyset \to \ast) $ y una equivalencia débil $$ SY \simeq X ? $$ En general, he sacado mucho provecho de la versión fiberwise de esta pregunta.

Dado un espacio $B$ podemos considerar la suspensión fibrosa no reducida de $\emptyset \to B$ como el mapa de proyección $B \times S^0 \to B$ (en este caso, la suspensión de fibras no reducidas de $Y\to B$ significa el doble cilindro cartográfico del diagrama $B \leftarrow Y \to B$ o concretamente, es $B \times 0 \cup Y \times [0,1]\cup B \times 1$ .

Suspensión de fibras no reducidas es entonces un functor $$ S_B: \text{Top}(\emptyset \to B) \to \text{Top}(B\times S^0 \to B) , $$ y se puede considerar el problema de si un objeto $X \in \text{Top}(B\times S^0 \to B)$ puede escribirse como $S_B Y$ hasta la equivalencia débil.

Por qué me preocupa este problema

Este problema surge naturalmente en la teoría de la incrustación: si $P \to N \times [0,1]$ es una incrustación, donde $P$ y $N$ son colectores cerrados y si $W$ es el complemento de $P$ en $N \times [0,1]$ entonces $W$ es un objeto de la categoría $\text{Top}(N\times S^0 \to N$ ) y un obstáculo necesario para comprimir $P$ como una incrustación en $N$ es que $W$ debe desuspenderse fibrosamente sobre $N$ . Además, en algunos casos la existencia de una desuspensión no reducida por fibras basta para encontrar la compresión de la incrustación. (Esta historia se explica en detalle en el artículo: Poincaré duality embeddings and fiberwise homotopy theory, Topología 38 , 597-620 (1999).)

Posdata

En el contexto de la fibra hay una diferencia real entre el reducido y sin reducir casos del problema de la desuspensión. Por ejemplo, en el caso del problema de compresión $P \to N \times I$ descrito anteriormente, las dos inclusiones $N \times i \to P$ para $i = 0,1$ pueden tener clases de homotopía distintas (en función de las fibras). Si este es el caso, entonces no hay posibilidad de que los datos del complemento $W$ puede subyacer a una suspensión reducida de fibras, ya que si lo hiciera, entonces el mapa $N \times S^0 \to P$ sería un factor a través de $S_N N \cong N \times D^1$ dando una homotopía de las dos inclusiones $N \times i \to P$ .

(Para $Y \in \text{Top}(\text{id}:B \to B)$ la fibra reducida suspensión $\Sigma_B Y$ viene dada por $$ \Sigma_B Y = \text{colim}(B \leftarrow S_B B \to S_B Y) . $$ Se trata de un endofunctor de $\text{Top}(\text{id}:B \to B)$ .

Un ejemplo aún más mundano es este: cuando $B = \ast$ podemos considerar $S^0$ con sus dos puntos de base distintos. Claramente $S^0 = S\emptyset$ pero $S^0$ no es, ni siquiera hasta la equivalencia débil, la suspensión reducida de ningún espacio de base.

Answer 3

Steenrod definió un sistema local de coeficientes como un functor desde el camino-grupo de su espacio a una categoría. Es difícil definir la homología/cohomología con coeficientes locales simplemente eligiendo puntos base, ya que también se necesitan las identificaciones dadas por las trayectorias. Los cálculos de los mapas inducidos son especialmente propensos al error. Quizás mi ejemplo favorito es el siguiente.

Dejemos que $\tau\colon S^{2n} \to S^{2n}$ sea el mapa antipodal con cociente $RP^{2n}$ y el mapa de cociente $\pi\colon S^{2n} \to RP^{2n}$ . Hay un sistema de coeficientes retorcidos $Z^w$ en $RP^{2n}$ para que $H_{2n}(RP^{2n};Z^w) \cong Z$ que se utiliza en el teorema de dualidad de Poincare no orientable.Existe una noción natural de sistema de coeficientes de retroceso y el sistema $\pi^\ast Z^w$ es equivalente al sistema trivial habitual. Por lo tanto, $H_{2n}(S^{2n};\pi^\ast Z^w) \cong Z$ pero la equivalencia implica una elección.

Desde $\pi\circ \tau = \pi$ Hay una identificación ``natural'' de $(\pi\circ\tau)^\ast Z^w$ con $\pi^\ast Z^w$ . Con estas opciones, el mapa antipodal tiene grado 1. Si eliges que el mapa antipodal tenga grado $-1$ entonces los dos mapas inducidos por $\pi$ tienen diferentes grados.

Answer 4

Si se estudia el conjunto de triangulaciones ideales de una superficie perforada fija se descubre que:

• ("generadores") mediante el uso de secuencias de volteos se puede relacionar cualquier par de triangulaciones,
• ("relatores") dos secuencias de este tipo están relacionadas por un conjunto bien entendido de movimientos (el más importante es la relación pentágono)

El objeto que se obtiene con estos "generadores" y "relatores" no es realmente un grupo, es sólo un groupoide, llamado groupoide de Ptolomeo. Véase, por ejemplo, el papel de Chekhov y Fock introduciendo el espacio cuántico de Teichmuller.

Answer 5

Mis conocimientos de topología algebraica son limitados, pero he encontrado un ejemplo particular en el que los groupoides casi se imponen: una prueba puramente algebraica de que todo subgrupo de un grupo libre es libre.

La prueba geométrica habitual de que un subgrupo $H$ del grupo libre $F_2$ en dos generadores es libre va así: uno representa $F_2$ como el grupo fundamental $F_2 = \pi_1(S^1\vee S^1)$ . Entonces, $H$ es el grupo fundamental de un recubrimiento de $p : X \to S^1\vee S^1$ . Pero $X$ es un gráfico y el grupo fundamental de un gráfico es siempre libre.

Por supuesto, debería ser posible traducir lo anterior en una demostración puramente algebraica, pero esto es muy difícil si no se introducen los groupoides o una noción relacionada. No lo he hecho en detalle, pero me parece que hay que tratar el grupo $F_2$ como un groupoide "dentro" del subgrupo $H$ . Los objetos de este grupo son clases de equivalencia

$$ g \sim g' \iff \exists h \in H. gh = g' $$

y los morfismos vienen dados por $\lbrace a : [g] \to [ga] \rbrace \cup \lbrace b : [g] \to [gb] \rbrace$ donde $a$ y $b$ son los generadores de $F_2$ . Este grupúsculo es un modelo puramente algebraico del espacio de cobertura $X$ . El grupo $H$ corresponde al subgrupo de morfismos de la forma $\lbrace h : [e] \to [e] \rbrace$ . Queda por demostrar que $X$ se puede contraer a lo largo de un árbol de expansión mientras que $H$ se deja sin modificar.

Creo que la cuestión es que esta última contracción desgarra la estructura de grupo de $F_2$ .