Función meromorfa analítica en $0$

Question

Dejemos que $f\colon \mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ sea una función meromórfica analítica en $0$ tal que $f\big(\frac{1}{n}\big)=\frac{n}{2n+1}$ para todos $n\geq1$ . Mostrar:

$a)\hspace{0.25cm} f(2)=\frac{1}{4}$

$b)\hspace{0.25cm} f$ tiene un polo simple en $z=-2$ .

No estoy seguro de cómo proceder. He intentado escribir la expansión de la serie de potencias alrededor de $0$ pero realmente llegar a cualquier parte. También intenté escribir $f$ como una función racional, pero eso tampoco ayudó. Se agradece cualquier sugerencia.

Answer 1

Observe que $$ f\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{2+\frac{1}{n}} $$ y como $f$ es analítica en $z=0$ entonces el Principio de identidad se aplica y por lo tanto $$ f(z)=\frac{1}{2+z}. $$