Continuidad y función integrable de Lebesgue

Question

Tengo el siguiente problema:

Dejemos que $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ sea una función continua e integrable por Lebesgue, es decir $\int_{\mathbb{R}^n} |f|\ d\mu < \infty$ donde $\mu$ es la medida de Lebesgue para ${\mathbb{R}^n}$ . Entonces $\lim_{\|x\|\ \to\ \infty} f(x) = 0$ .

No he podido concluir si la afirmación es verdadera o falsa porque en la hipótesis la función $f$ no es uniformemente continua como en el lema de Barbalat. Así que creo que la afirmación es falsa, en ese caso necesito una función continua $f$ pero no uniformemente también integrable de Lebesgue tal que no desaparece en $\infty$ . Evidentemente, aún no tengo ideas porque para mí, intuitivamente, no existe tal $f$ . ¿Alguna pista?

Answer 1

Contraejemplo para $n=1$ : definir $f : \mathbb R \to \mathbb R$ como sigue: para cada número entero positivo $k$ , coloque un "pulso" triangular centrado en $x=k$ , con altura $2$ y la anchura de la base $1/k^2$ . Sea $f = 0$ en todos los demás lugares. El $k$ 'th pulso tiene área $1/k^2$ y los pulsos no se superponen, por lo que $f = |f|$ se integra a $\sum_{k=1}^{\infty}1/k^2 = \pi^2/6 < \infty$ . Claramente $f$ es continua pero no tiene límite como $|x| \to \infty$ .

Al cambiar las alturas de los triángulos a $2k$ y la anchura de la base a $1/k^3$ podemos mantener la zona $1/k^2$ mientras que permite que las alturas crezcan sin límites, por lo que podemos incluso hacer $f$ sin límites como $|x| \to \infty$ .

Con las modificaciones adecuadas en la forma del pulso, también podemos hacer $f$ tan suave como queramos, por ejemplo, infinitamente diferenciable.

Se pueden construir contraejemplos similares para cualquier $n$ .