Si intercambio infinitos dígitos de $\pi$ y $e$ ¿son los dos números resultantes trascendentales?

Question

Si intercambio los dígitos de $\pi$ y $e$ en infinitos lugares, obtengo dos nuevos números. ¿Son estos dos números trascendentales?

Answer 1

Si, como se cree comúnmente, $\pi$ y $e$ son números normales entonces se puede utilizar un argumento de recuento (o de entropía) para demostrar que ninguna transposición posible de $\pi$ y $e$ puede producir un número racional. De hecho, si hubiera un número racional que pudiera hacerse de esta manera, entonces su expansión de dígitos sería finalmente periódica con algún período $q$ ; repitiendo este periodo, se puede hacer $q$ grande y uniforme. Si se observa un determinado $q$ -de esta expansión periódica, entonces $\pi$ tendría que compartir al menos $q/2$ de sus dígitos con este bloque fijo, o $e$ de la que se trata. Pero si $\pi$ es normal, lo primero ocurre con una densidad como máximo $\binom{q}{q/2} 10^{-q/2}$ entre todos los $q$ -bloques, y si $e$ es normal, esto último ocurre con una densidad como máximo $\binom{q}{q/2} 10^{-q/2}$ . Para $q$ suficientemente grande, las dos densidades suman menos de 1 (aquí utilizamos el hecho de que la base es al menos $4$ - no estoy seguro de qué camino tomarán las cosas en la base $2$ o base $3$ ), por lo que no se puede hacer coincidir el número racional dado.

[Debería haber alguna forma de reformular el argumento anterior en teoría de la información, tal vez utilizando las desigualdades de entropía de Shannon, pero no he podido encontrarla].

Resolver el problema de manera incondicional parece ser al menos tan difícil como hacer algún avance importante en la normalidad de $\pi$ y $e$ . Incluso descartando un decimal de terminación (es decir, que para todo lo suficientemente grande $k$ , ya sea el $k^{th}$ dígito de $\pi$ o el $k^{th}$ dígito de $e$ desaparece) está probablemente fuera del alcance de la tecnología actual.

Answer 2

Buena pregunta, Erin. Aquí hay una cosa rápida y fácil de decir.

Si $\pi$ y $e$ no está de acuerdo con un número infinito de dígitos, entonces hay un número continuo de opciones del subconjunto particular de esos dígitos para intercambiar, y así obtenemos un número continuo de números diferentes de esta manera. Dado que sólo hay un número contable de números algebraicos, se deduce que la mayoría de las veces, sí, se obtienen números trascendentales haciendo esto.

Sin embargo, no estoy seguro de que se pueda decir que todos los reales resultantes sean trascendentales. Quizá haya que esperar a que algún experto en teoría de números responda.

Por último, si ocurre (como parece poco probable) que todos los dígitos de $\pi$ y $e$ son iguales, entonces $\pi-e$ sería racional, y además intercambiar los dígitos no hace nada en realidad, excepto en esos dígitos finitos de diferencia, y por lo tanto esto no afectará a la trascendencia. En este caso, sólo hay un número finito de reales posibles resultantes, pero todos ellos difieren de los reales originales sólo en un número finito de dígitos, y por tanto sí, todos son trascendentales.

Answer 3

Una variante de mi respuesta anterior. Se suele creer que todos los números algebraicos irracionales son normales. Si este es el caso, entonces puede haber a lo sumo dos números algebraicos (hasta los desplazamientos por racionales) que se pueden obtener transponiendo dígitos de $e$ y $\pi$ .

Para ver esto, supongamos, en aras de la contradicción, que hay tres números algebraicos $\alpha,\beta,\gamma$ que no difieren entre sí por un racional, y que pueden obtenerse transponiendo los dígitos de $e$ y $\pi$ . Por el principio de encasillamiento, vemos que para cada número natural $k$ al menos uno de los pares $(\alpha,\beta)$ , $(\alpha,\gamma)$ , $(\beta,\gamma)$ acordar en el $k^{th}$ digito. Por el principio de encasillamiento de nuevo, esto significa que uno de estos pares coincide en un conjunto de dígitos de densidad (superior) al menos $1/3$ . Sin pérdida de generalidad podemos suponer que el par $(\alpha,\beta)$ tiene esta propiedad, y que $\beta > \alpha$ . Pero entonces, por una larga resta, la diferencia $\beta - \alpha$ tendrá dígitos $0$ o $9$ en un conjunto de dígitos de densidad superior al menos $1/3$ lo que contradice la normalidad de $\beta-\alpha$ . (¡Ahora necesito que la base sea al menos de siete!)

Podría ser posible actualizar "hasta los desplazamientos por racionales" en la afirmación anterior por "hasta los desplazamientos por decimales terminados", pero no he intentado enérgicamente hacerlo. También vale la pena señalar que este es un ejemplo de un ineficaz en el sentido de que no se proporciona ningún límite a la altura de los números algebraicos que todavía se pueden obtener transponiendo dígitos de $e$ y $\pi$ incluso si se tuviera alguna cota de normalidad cuantitativa sobre los números algebraicos en función de la altura.

p.d. Podemos combinar las dos respuestas: si suponemos que la suma de $\pi$ y un número algebraico, o la suma de $e$ y un número algebraico, es siempre normal, entonces la respuesta a la pregunta original es positiva: toda transposición de $\pi$ y $e$ es trascendental. Porque si hubiera un número algebraico $\alpha$ que fuera posible como transposición, entonces tendría que compartir al menos la mitad de sus dígitos con $\pi$ o $e$ y, por lo tanto, uno de $|\pi-\alpha|$ o $|e-\alpha|$ tendría dígitos $0$ o $9$ en un conjunto de densidad superior al menos $1/2$ contradiciendo la normalidad de estas cifras. (Ahora necesito una base de al menos cinco).

Answer 4

Obsérvese que la suma de los números intercambiados es la misma que $\pi + e$ lo que significa que para que sean simultáneamente algebraicas implicaría que $\pi + e$ es algebraico (un problema abierto por lo que sé). No sé si se dice algo sobre el caso en que sólo uno es algebraico.

Answer 5

Aquí hay un argumento para esperar que los dos números obtenidos de esta manera deben ser trascendentales. Realmente, lo que estoy mostrando es que el lugar de $(a,b)$ en $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ donde se puede obtener un número algebraico intercambiando dígitos de $a$ para los dígitos de $b$ es de medida $0$ .

Voy a ignorar las dificultades provenientes de las secuencias de finales infinitos de $9$ s (forman una medida $0$ para que no cambien nada).

Para ello, basta con demostrar que este lugar es una unión contable de medida $0$ conjuntos. Como hay un número contable de números algebraicos, podemos restringir la atención a uno solo $\alpha$ . Además, podemos limitarnos a mirar $[0,1]\times[0,1]$ porque un número algebraico sigue siendo algebraico cuando añadimos un entero.

Ahora, tenemos $2^n$ opciones de cómo dividir la primera $n$ dígitos de $\alpha$ y cada división nos da un conjunto de medidas $\frac{1}{10^n}.$ Como $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2^n}{10^n}=0,$ vemos que nuestro conjunto tiene medida $0$ , según se desee.