¿Se puede utilizar el teorema del apretón para demostrar la inexistencia de un límite?

Question

Para el teorema del apretón, si $0 \leqslant f(x) \leqslant 1$ ¿se puede utilizar esto para demostrar la afirmación de que el límite $f(x)$ no existe? Es decir $f(x)$ es $xy/ (x^2+xy+y^2)$ , como $(x,y)\rightarrow(0,0)$ .

Soy consciente de que se puede utilizar el método de aproximación desde diferentes caminos, pero me preguntaba si el teorema del apretón era suficiente. Mi primera suposición es que obviamente esto no es suficiente para demostrar nada, ya que $f(x)$ todavía puede ser $0$ pero de todos los ejemplos que he probado, cuando el teorema del apretón no aprieta $f(x)$ en un número $L$ El límite no existe. ¿Sólo una coincidencia?

Answer 1

Como conozco el teorema del apretón, dice que si (bla) entonces el límite es $L$ . No dice nada si no se puede probar (blah). Tal vez hay una cosa mejor para exprimirlo, tal vez no hay límite.

Answer 2

Probablemente sea una coincidencia. Sin embargo, hay que tener cuidado cuando el teorema del estrujamiento aparentemente funciona.

Considere la función

$$f(x,y) = \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}.$$

Queremos encontrar su límite en el origen. Cambiemos a coordenadas polares haciendo $x = r \cos \theta$ y $y = r \sin \theta$ . La función tiene la forma

$$f(x,y) = f(r,\theta) = \frac{(r \cos \theta)^2 (r \sin \theta)}{(r \cos \theta)^4 + (r \sin \theta)^2} = \frac{r^3 \cos^2 \theta \sin \theta}{r^4 \cos^4 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \frac{r \cos^2 \theta \sin \theta}{r^2 \cos^2 \theta + \sin^2 \theta}.$$

He cometido un pequeño abuso de notación al escribir $f(x,y) = f(r, \theta)$ . Podrías intentar decir que

$$0 \leq \left\vert \frac{r \cos^2 \theta \sin \theta}{r^2 \cos^4 \theta + \sin^2 \theta} \right\vert \leq \frac{r}{r^2 \cos^4 \theta + \sin^2 \theta}$$

y concluir que el límite original es cero. El problema es que se llegaría a un resultado falso. Para ver esto, considere el camino $y=x^2$ . Esto nos da

$$f(x,x^2) = \frac{x^2 (x^2)}{x^4 +(x^2)^2} = \frac{x^4}{2x^4} = \frac{1}{2},$$

que es un camino que pasa por el origen pero en el que la función toma un límite distinto de cero, por lo que la función no puede ser continua en ese punto.

Lo que debería hacer sonar una alarma es el hecho de que cuando pasamos a coordenadas polares el numerador tenía un $\sin \theta$ por ahí. Dependiendo del ángulo con el que nos acerquemos al origen, podría ser negativo. Esa información se pierde cuando utilizamos el valor absoluto, lo que nos lleva a una conclusión errónea. Además, las coordenadas polares sólo cubren las líneas rectas que pasan por el origen, cuando una trayectoria no lineal (como $y=x^2$ ) podría revelar el problema.

Answer 3

Las respuestas existentes son perfectamente correctas, pero ya que esto se ha bacheado: Hay es algo así como un inverso del teorema del apretón en el siguiente sentido.

Si $f$ es una función de valor real sobre un espacio métrico $(X, d)$ y si $a$ es un punto límite de $X$ entonces $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ existe y es igual a $L$ si y sólo si \begin{align*} \limsup_{x \to a} f(x) &:= \lim_{\delta \to 0}\; \sup_{0 < d(a, x) < \delta} f(x), \\ \liminf_{x \to a} f(x) &:= \lim_{\delta \to 0}\; \inf_{0 < d(a, x) < \delta} f(x) \end{align*} (que siempre existen como números reales extendidos) son ambos iguales a $L$ .

Es de suponer que cuando encontró " $0 \leq f(x) \leq 1$ " en sus ejemplos, $0$ y $1$ eran en realidad los $\liminf$ y $\limsup$ de su función, es decir, los "peores casos". Dado que $0 \neq 1$ la función $f$ no tenía límite.