Leí en el libro de Brian Greene El tejido del cosmos que existen soluciones de espacio vacío no triviales (es decir, no Minkowski) para las ecuaciones de la relatividad general. ¿Puede alguien darme un ejemplo explícito de tal solución?
Respuesta
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En la relatividad general, las ecuaciones de Einstein $G_{\mu\nu}=8\pi GT_{\mu\nu}$ relacionan la curvatura con el contenido de materia del espaciotiempo, a través del tensor tensión-energía $T_{\mu\nu}$ . (Siguiendo las convenciones modernas, esto cuenta la constante cosmológica $\Lambda$ como una forma de contenido de materia: el vacío o la energía "oscura"). Así que el tensor de Einstein $G_{\mu\nu}$ está determinada por la configuración de la materia en el universo. Sin embargo, $G_{\mu\nu}$ no determina completamente la curvatura del espacio-tiempo manifiesto.
La curvatura del espaciotiempo se describe mediante el tensor de Riemann de cuatro índices $R_{\mu\nu\rho\sigma}$ que tiene veinte componentes independientes para una variedad de cuatro dimensiones. El tensor de Einstein sólo está relacionado con un subconjunto de estos componentes, $$G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu},$$ donde el tensor de Ricci de dos índices y el escalar de Ricci de índice cero están formados por contrayendo los índices del tensor de Riemann subyacente, $R_{\mu\nu}=R^{\alpha}\,_{\mu\alpha\nu}$ y $R=R^{\alpha}\,_{\alpha}$ . Dado que el tensor de Riemann satisface $R_{\mu\nu\rho\sigma}=R_{\rho\sigma\mu\nu}$ el tensor de Ricci es simétrico, $R_{\mu\nu}=R_{\nu\mu}$ y un tensor simétrico de dos índices en cuatro dimensiones tiene (como un $4\times4$ matriz) diez componentes independientes. (Y, obviamente, el escalar de Ricci tiene entonces una sola componente.) Los diez grados de libertad restantes del tensor de Riemann pueden recogerse en algo llamado tensor conforme de Weyl, $C_{\mu\nu\rho\sigma}$ .
Como las ecuaciones de Einstein sólo involucionan la parte de Ricci de la curvatura, hay diez parámetros de curvatura que no tienen nada que ver con el contenido de materia del espaciotiempo. Esto significa que hay muchas soluciones que están localmente vacías de materia (lo que significa que no hay curvatura de Ricci) pero que aún poseen una importante curvatura de Weyl. Las soluciones clásicas de los agujeros negros de Schwarzschild y Kerr están vacías de materia fuera de los horizontes de sucesos, $G_{\mu\nu}=0$ pero es obvio que hay una curvatura. Las soluciones de los agujeros negros no son soluciones de vacío en todas partes, por supuesto; tienen materia en el interior de los agujeros negros. Sin embargo, también hay soluciones que están completamente vacías de materia en todas partes, pero que siguen teniendo componentes de curvatura no evanescentes.
Permítanme mencionar dos tipos importantes de tales no triviales $T_{\mu\nu}=0$ soluciones. La primera es una clase de soluciones cosmológicas. La Modelo Milne describe un universo homogéneo e isótropo en expansión con curvatura. Como tal, representa un tipo especial de Solución métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) . En los espacios-tiempo FLRW, los diferentes tipos de contenido de materia contribuyen de forma diferente a los parámetros de expansión, y en este marco, la curvatura parece comportarse como si fuera otro tipo de fuente de materia. La métrica en este espaciotiempo es $$ds^{2}=dt^{2}-t^{2}\left\{\left[d(\sinh^{-1}r)\right]^{2}+r^{2}\,d\Omega^{2}\right\},$$ utilizando el $(+,-,-,-)$ convención de firmas. Es fácil ver en el elemento de la línea espacial $d\Sigma^{2}=t^{2}\left\{\left[d(\sinh^{-1}r)\right]^{2}+r^{2}d\Omega^{2}\right\}$ que las rodajas espaciales con constante $t$ son curvas; sin embargo, el tensor de Einstein sigue desapareciendo en todo el espacio.
La segunda clase importante de soluciones no triviales sin contenido de materia son las soluciones que implican sólo ondas gravitacionales. Un espaciotiempo vacío de energía y materia, con $T_{\mu\nu}=0$ Sin embargo, es posible que haya ondas gravitacionales que se propaguen e interactúen. De nuevo, es posible formular la teoría de manera que la radiación gravitatoria parezca una fuente de materia; sin embargo, bajo la definición estricta $T_{\mu\nu}$ las ondas gravitacionales no contribuyen a ese tensor. Uno de los modelos más sencillos con radiación gravitacional en un espaciotiempo por lo demás vacío es el Modelo Ozsváth-Schücking que sólo tiene una onda gravitacional plana que se propaga uniformemente por el espacio. La métrica (adecuadamente escalada) es $$ds^{2}=dt^{2}-4\zeta\,dt\,d\xi-2\,d\xi\,d\eta-2\zeta^{2}\,d\eta^{2}-d\zeta^{2}.$$ El cálculo directo de la curvatura confirma que esta métrica satisface $R_{\mu\nu}=0$ (haciendo en "plano de Ricci"), pero no es conformemente plano, por lo que $C_{\mu\nu\rho\sigma}\neq0$ .
