La siguiente declaración es de Lübke La correspondencia Kobayashi-Hitchin pp.222:
Si $a\in A^2(X)$ es armónico, y $a=a^++a^-$ con $a^{\pm}\in A^2_{\pm}(X)$ entonces $a^+$ y $a^-$ también son armónicos. Esto induce una descomposición $H^2(X,\mathbb{C})=H^2_+(X)\oplus H^2_-(X)$ (y de forma similar para $H^2(X,\mathbb{R})$ ).
Aquí $X$ es una superficie compleja. $A^p(X),A^{s,t}(X)$ son espacios de complejos suaves $p$ -formas y formas de tipo $(s,t)$ respectivamente. $A^2_+(X),A^2_-(X)\subset A^2(X)$ corresponden a los valores propios $\pm 1$ del operador estrella de Hodge $*:A^2(X)\to A^2(X)$ . Entonces $$A^2_+(X)=A^{2,0}(X)\oplus A^{0,2}(X)\oplus A^0(X)\cdot \omega_g, \quad A^2_-(X)=A^{1,1}_0(X),$$ donde $g$ es una métrica hermitiana en $X$ y $\omega_g$ es la forma de Kähler. Cómo ver eso $a^+$ y $a^-$ son simultáneamente armónicos cuando $a$ ¿es?
