Ejemplo de un espacio topológico no compacto X tal que su compactificación de Alexandroff X* no es conectada.
Demostré que si X* es conexo, entonces X es no compacto. Necesito un contraejemplo para la otra dirección.
Respuesta
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Si $X$ es conectada y no compacta entonces, como $X$ es denso en $X^\ast$ , $X^\ast$ también está conectado. Para los compactos $X$ , $X^\ast$ no está conectado, ya que $\infty$ es un punto aislado, y $\{\infty\}$ es un conjunto cerrado no trivial.
Si $X=\Bbb N$ (no compacto) entonces en $X^\ast$ , $\{0\}$ sigue siendo un conjunto cerrado no trivial en $X^\ast$ Así que $X^\ast$ no está conectado. (es una secuencia convergente).
En general, si $X$ tiene un subconjunto compacto no vacío y cerrado, entonces $X^\ast$ no se conectará. Pero $X$ puede ser desconectado, como $X=(0,1) \cup (2,3)$ y $X^\ast$ puede seguir conectada (dos círculos que se tocan en este caso). Así que $X^\ast$ conectado no dice mucho sobre $X$ estar conectado: podría serlo o no. Sólo sabemos que $X$ es entonces no compacto.
De hecho:
$X^\ast$ está desconectado si $X$ tiene un subconjunto no vacío, cerrado y compacto.
Prueba : Si $O$ es un subconjunto de este tipo, $O$ sigue abierto en $X^\ast$ por definición, $O$ se cerrará en $X^\ast$ como su complemento es el complemento de un subconjunto compacto cerrado, y como tal el complemento es abierto en $X^\ast$ . Por lo tanto, $O$ es no trivial (no vacía y $\infty \notin O$ ) subconjunto cerrado de $X^\ast$ . Si $X^\ast$ está desconectado por lo que $X^\ast=U \cup V$ ambos abiertos, no vacíos y disjuntos. Supongamos WLOG que $\infty \in V$ entonces $X^\ast\setminus V=U$ debe ser cerrado y compacto en $X$ y como $U \subseteq X$ también estaba abierto en $X$ . Así que $U$ es un subconjunto cerrado no vacío de $X$ .
