Ampliación de la serie para $x$ cuando $x$ es pequeño

Question

Supongamos que nos dan la expansión en serie de $y$ en términos de $x$ , donde $|x|\ll 1$ . Por ejemplo, considere $$y=x+x^2+x^3+\cdots\qquad\qquad\qquad (1).$$ A partir de esto me gustaría derivar la expansión en serie de $x$ en términos $y$ . Dado que $|x|\ll 1$ podemos tomar $y=x+O(x^2)$ tal que $x\sim y$ .

Se deduce entonces de $(1)$ que $$x=y-(x^{2}+x^{3}+\cdots)\qquad\qquad\qquad (2).$$ Dado que $x\sim y$ , $(2)$ se convierte en $$x=y-y^2-y^3+\cdots\qquad\qquad\qquad (3).$$

Mientras que los dos primeros términos de $(3)$ son correctos, sospecho que el resto de los términos son incorrectos.

Por ejemplo, dado que $y=x+O(x^2)$ implica que $y^2=x^2+2xO(x^{2})+(O(x^{2}))^{2}$ . Por lo tanto, $2xO(x^{2})$ dará lugar a un $y^{3}$ término en $(3)$ al calcular $x^{2}$ en $(2)$ .

¿Cómo puedo encontrar el término correcto que contiene $y^{3}$ en $(3)$ y así sucesivamente.

Answer 1

Tiene una serie geométrica. esta tiene una receta sencilla, $$ y = \frac{x}{1-x} $$ para $|x| < 1,$ es decir $-1 < x < 1.$

Como es una transformación de Mobius, podemos invertirla fácilmente, $$ x = \frac{y}{1 + y} $$

Answer 2

Usted tiene

$$y=\sum_{n\ge 1}x^n=\frac{x}{1-x}\;,$$

así que $(1-x)y=x$ y por lo tanto

$$x=\frac{y}{1+y}=y\sum_{n\ge 0}(-1)^ny^n\;.$$

Answer 3

Esto no es una respuesta, pero es demasiado largo para un comentario.

Tal y como comentó Will Jagy, se puede invertir la serie construyendo un coeficiente cada vez. Es una tarea bastante tediosa pero es factible.

Suponga que tiene

$$y=a_0+a_1+a_2x^2+a_3x^3+O\left(x^4\right)$$ , sustituyendo a $x$ por $b_0+b_1+b_2y^2+b_3y^3$ sustituyendo, ampliando e identificando un coeficiente a la vez, se llega a $$x=\frac{1}{a_1}(y-a_0)-\frac{a_2 }{a_1^3}(y-a_0)^2+\frac{2 a_2^2-a_1 a_3 }{a_1^5}(y-a_0)^3+O\left((y-a_0)^4\right)$$

Si ponemos todos los $a_i$ es igual a $1$ como en el ejemplo del post, entonces tendrá $$x=y-y^2+y^3+O\left(y^4\right)$$ Si sustituimos $x$ por $y-y^2+y^3$ en $y=x+x^2+x^3$ deberíamos obtener $$y=y+4y^5-6y^6+\cdots$$ que muestra el error.

Answer 4

Este tema se conoce como "inversión de series de potencia". Haga una búsqueda - obtendrá muchos resultados interesantes (no es tan malo como tvtropes).

Una muy buena referencia es "generatingfunctionology" que se puede descargar gratuitamente aquí: https://www.math.upenn.edu/~wilf/DownldGF.html

Answer 5

Si suponemos que la serie continúa como $y=\sum\limits_{k=1}^\infty x^k$ tenemos $$ y=\frac{x}{1-x}\tag{1} $$ entonces podemos calcular $$ x=\frac{y}{1+y}=\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k-1}y^k\tag{2} $$ Sin embargo, si no hacemos esta suposición, podemos invertir la serie utilizando Inversión de Lagrange : $$ \begin{align} \left[\,y^k\,\right]x &=\frac1k\left[\,x^{-1}\,\right]y^{-k}\\ &=\frac1k\left[\,x^{-1}\,\right]\left(x+x^2+x^3+\dots\right)^{-k}\tag{3} \end{align} $$ donde $\left[x^k\right]f$ es el coeficiente de $x^k$ en la expansión de la serie de potencias para $f$ .

Desde $$ \begin{align} \left(x+x^2+x^3+\dots\right)^{-1}&=\frac{\color{#C00000}{1}}x-1+0x+\dots\\ \left(x+x^2+x^3+\dots\right)^{-2}&=\frac1{x^2}\color{#C00000}{-}\frac{\color{#C00000}{2}}x+1+\dots\\ \left(x+x^2+x^3+\dots\right)^{-3}&=\frac1{x^3}-\frac3{x^2}\color{#C00000}{+}\frac{\color{#C00000}{3}}x+\dots \end{align}\tag{4} $$ $(3)$ da $$ x=y-y^2+y^3+\dots\tag{5} $$