$(1+i\tan(\beta))^n$ de forma exponencial

Question

Me gustaría encontrar $\alpha$ y $r$ tal que : $$(1+i\tan(\beta))^n = r \cdot e^{i \alpha}$$ donde $n \in \mathbb{N}$ y $r, \beta \in \mathbb{R}$

Hasta ahora he descubierto que : $r = |\frac{1}{\cos \beta}|^n$ pero no sé cómo proceder para el resto del problema...

Answer 1

Lo has hecho: \begin{align*} (1+i\tan(\beta))^n &=\left(1+i\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}\right)^n\\ &=\frac{(\cos(\beta)+i\sin(\beta))^n}{\cos^n(\beta)}\\ &=\frac{(\exp(i\beta))^n}{\cos^n(\beta)}\\ &=\frac 1{\cos^n(\beta)}e^{in\beta} \end{align*} así $r=\frac 1{\cos^n(\beta)}$ (no es necesario $r\geq 0$ pero sólo $r\in\mathbb R$ ) y $\alpha=n\beta$ .