Un ejemplo de espacio homogéneo no simétrico

Question

Una colector riemanniano $M$ se dice que homogéneo si el grupo de isometrías $Isom(M)$ actúa transitoriamente sobre $M$ .

Se dice que una variedad riemanniana es simétrico si es conexo, homogéneo y además existe un punto $p\in M$ y una involución $\phi\in Isom(M)$ tal que $p$ es un punto fijo aislado de $\phi$ (es decir, existe una vecindad abierta $V$ de $p$ donde $p$ es el único punto fijo de $\phi$ entre todos los elementos de $V$ )

De ello se desprende que, aunque los espacios homogéneos son muy bonitos y "simétricos" en el sentido de que todos los puntos tienen el mismo aspecto geométrico, no se consideran, sin embargo, un espacio simétrico según la definición anterior (al menos a priori).

La pregunta inevitable es pues:

¿Existe un ejemplo relativamente sencillo de un espacio conectado y homogéneo que sea no ¿un espacio simétrico?

Answer 1

Este es mi ejemplo favorito. Considere el espacio de la bandera $$G(k,\ell,n) = \{(L,H)\in G(k,n)\times G(\ell,n): L\subset H\}.$$ Aquí $G(k,n)$ es el Grassmanniano de $k$ -aviones en $n$ -espacio, y $G(\ell,n)$ es el Grassmanniano de $\ell$ -aviones en $n$ -y tomamos $1\le k<\ell<n$ . Dependiendo de si estamos haciendo subespacios reales o complejos, este será un espacio homogéneo con grupo $O(n)$ o $U(n)$ .

Se puede comprobar Lie-algebraicamente que no se trata de un espacio simétrico, o - mi manera preferida - se pueden encontrar formas diferenciales invariantes en este espacio que no sean cerradas (en un espacio simétrico $G/K$ con $G$ compacta, toda forma invariante es cerrada).