Es fácil definir invariantes que clasifiquen completamente los nudos; sin embargo, esto es inviable desde el punto de vista computacional, por lo que ¿son importantes los invariantes computacionalmente eficientes? ¿Por qué? ¿Los matemáticos se encuentran alguna vez con dos nudos muy grandes y quieren saber si son iguales?
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Mike Miller
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Personalmente, a menudo encuentro que "¡distinguen las cosas!" es una razón muy poco interesante para preocuparse por los invariantes. Sinceramente, no me apasiona saber si dos manifolds suficientemente complicados (puedo escribir algunos si quieres) son difeomorfos, salvo en principio. Lo que yo, y creo que la mayoría de los matemáticos, queremos es (para robarle la idea a Thurston) comprender la clase de los 3-manifolds, o los ejemplos específicos.
A excepción de los espacios de Lens, los 3manifolds orientados cerrados irreducibles están determinados por su grupo fundamental. Esto es genial. Mientras que una interpretación de esto es que podemos distinguir los 3manifolds usando ciertos algoritmos después de calcular sus grupos fundamentales (esto es realmente posible en este caso, ya que los grupos obtenidos son especiales), lo que me dice en su lugar es "¡Guau! La topología -y gran parte de la geometría, incluso- de un 3manifold es capturada por su grupo fundamental". Esto me lleva a plantear más preguntas sobre los colectores y sus grupos fundamentales. (Véase también la rigidez de Mostow para un resultado igualmente inspirador, y en muchos sentidos similar).
Entonces, ¿por qué me importan las invariantes? Me enseñan sobre las variedades. La característica de Euler es multiplicativa bajo coberturas finitas. Aplicando esto a las superficies cerradas orientadas aprendo precisamente qué superficies son cubiertas de otras. ¿Qué $n$ -manifolds se incrustan en $\Bbb R^{n+k}$ ? Las clases de Stiefel-Whitney me ayudan a entender esto. Más concretamente, ¿qué 3manifolds orientados se incrustan en $\Bbb R^4$ ? Bueno, las clases de Stiefel-Whitney no ayudan, pero en el caso especial de las esferas de homología inventamos los invariantes de Rokhlin o Casson o Froyshov para entender mejor esta cuestión. (En una dirección relacionada, véase el trabajo de Manolescu sobre la conjetura de la triangulación: la refutó construyendo un invariante con ciertas propiedades). Y supongamos que me dedico a las geometrías de las foliaciones. Aprendo sobre la noción de foliación tensa en un manificio de 3 dimensiones y, finalmente, invento la conjetura del espacio L, que relaciona la existencia de una foliación tensa con el grupo fundamental y la homología de Heegaard Floer del espacio.
Supongo que, en resumen, me interesan los invariantes porque demuestran teoremas y me enseñan cosas nuevas sobre las variedades, ya sea en casos específicos de inspiración o en generalidad.
CodingBytes
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La topología algebraica, y más aún la topología diferencial, tratan de la descripción matemática de la "Gestalt". Los objetos (o espacios, etc.) en cuestión son de naturaleza homogénea, o continua, pero todos estamos convencidos de que su "Gestalt" es una entidad que puede describirse y clasificarse de forma discreta.
Ahora los nudos, respectivamente, imbeddings de $S^1$ en ${\mathbb R}^3$ son criaturas sencillas desde el punto de vista de los datos, y pueden presentarse de forma sencilla en un papel. Por lo tanto, sirven como tema principal (se podría llamar "modelo de juguete") en este esfuerzo general que llamo "Arithmetisierung der Gestalt" (aritmetización de la estructura morfológica).
Los matemáticos no se "sientan sobre los nudos" con $2869$ cruces; pero quieren crear herramientas que distingan definitivamente entre los nudos con $17$ o $29$ que se encuentran en la vida cotidiana, y que podrían desempeñar un papel tarde o temprano en la teoría de las cuerdas. Sobre todo, las herramientas así desarrolladas pueden ser de ayuda para clasificar situaciones geométricas de naturaleza menos intuitiva que los nudos en ${\mathbb R}^3$ .
