¿Cómo nace una transformación?

Question

Bueno, hay varias transformaciones en las matemáticas. Como la transformación de Laplace. Mi pregunta es sobre la utilidad y la motivación de estas transformaciones.

Como, cuando tenemos una ecuación, y duplicamos ambos lados, dividimos ambos lados, diferenciamos ambos lados; ¿las transformaciones matemáticas son útiles de esta manera también? Como, ¿transformar ambos lados de la ecuación puede ser útil de alguna manera? Me refiero a si podemos aceptar las transformaciones como "operaciones matemáticas". Si no, ¿por qué son tan útiles?

¿Cuáles son las motivaciones para crear una transformación?

¿Puedes darme la transformación más sencilla que conozcas, para que pueda pensar en ella?

Gracias.

Answer 1

En general, piense en una "transformación" como una herramienta para convertir un problema en una nueva forma que sea más fácil de resolver. Supongamos que tenemos un problema difícil y tenemos una transformación que lo convierte en un problema diferente que ya sabemos resolver. Si también puedes construir una transformación "inversa", esto te da un proceso de tres pasos para resolver el problema difícil:

(1) Transformar el problema original en una nueva forma que sea más fácil de resolver

(2) Resolver el problema más fácil

(3) Invierte la respuesta para obtener una respuesta al problema original

Un ejemplo muy sencillo: supongamos que tenemos una línea y un cilindro en el espacio 3D y queremos calcular su intersección. Una buena aproximación es la siguiente:

(1) Transforme el cilindro y la línea de manera que la línea central del cilindro se encuentre a lo largo de la $z$ -eje. La ecuación del cilindro transformado es ahora muy simple - sólo $x^2 + y^2 = r^2$ .

(2) Interseca la línea transformada con el cilindro transformado (lo cual es fácil)

(3) Transformar los puntos de intersección a la ubicación original en 3D

Cosas como las transformadas de Laplace y Fourier son mucho más complejas, por supuesto, pero el principio básico es el mismo.

Answer 2

En muchos casos, una transformada de Laplace (o una transformada de Fourier) transforma una ecuación diferencial parcial en una ecuación diferencial ordinaria. También transforma una ecuación diferencial ordinaria en una ecuación algebraica. La idea es que si podemos encontrar una función cuya transformada es la solución de esa ecuación algebraica, entonces hemos encontrado una manera realmente fácil de resolver algunas ecuaciones diferenciales.

Por lo tanto, la transformación depende de encontrar una forma sencilla de calcular las inversiones, o al menos de colocarlas en tablas para facilitar su consulta. En este último caso, las soluciones algebraicas deben ponerse en una forma estándar (por ejemplo, mediante la descomposición de fracciones parciales). Para las transformadas de Fourier, existe una simetría casi perfecta entre las transformadas y las transformadas inversas. Para las transformadas de Laplace, sin embargo, las cosas son un poco más complicadas, pero esas inversas también son fáciles de calcular.