Cuántos $4$ elementos enteros de dígitos $X$ que no tiene ningún dígito $0$ están en el conjunto $C$ tal que $X$ tiene exactamente una $1$ o $X$ tiene exactamente una $5$ ?

Question

Dejemos que $A = \{4~\text{digit integers}~X~\text{having no}~0~\text{such that}~X~\text{has exactly one}~1\}$ .

Dejemos que $B = \{4~\text{digit integers}~X~\text{having no}~0~\text{such that}~X~\text{has exactly one}~5\}$ .

Dejemos que $A+B = \{4~\text{digit integers}~X~\text{having no}~0\}$ .

Entonces $|C| = |A| + |B| - |A + B|$ .

El conjunto A tiene $4C1 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 = 2048$ elementos.

El conjunto B tiene $4C1 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 = 2048$ elementos.

Set $A+B$ tiene $8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 = 4096$ elementos.

Por lo tanto, $|A| + |B| - |A + B| = 2048 + 2048 - 4096 = 0$ .

Creo que mis pasos son correctos, pero dudo que haya obtenido la respuesta correcta.

Answer 1

Yo dividiría los tipos de números de esta manera:

• números con todos los dígitos distintos de cero, exactamente uno $1$ y no $5$ 's
• números con todos los dígitos distintos de cero, exactamente uno $5$ y no $1$ 's
• números con todos los dígitos distintos de cero, exactamente uno $5$ y exactamente uno $1$

Para el primer grupo, elija dónde poner el $1$ y luego elegir los otros tres dígitos de tal manera que no sean $0, 1,$ o $5$ . Esto da $4 \cdot 7^3$ posibilidades.

El segundo grupo también tiene este número de posibilidades.

Para el tercer grupo, elija dónde está el $5$ va, entonces donde el $1$ va, entonces los otros dos dígitos tales que no son $0, 1,$ o $5$ . Esto da $4 \cdot 3 \cdot 7^2$ posibilidades.

Entonces, la respuesta final es la suma de elementos en grupos $1$ y $2$ si su "o" es un "o" exclusivo, o los tres grupos si es un "o" normal.

Answer 2

Has calculado correctamente el número de enteros de cuatro dígitos con cifras distintas de cero que tienen exactamente una $5$ y el número de enteros de cuatro dígitos con cifras no nulas que tienen exactamente una $1$ . Sin embargo, su intersección es el conjunto de enteros de cuatro dígitos con cifras distintas de cero que tienen exactamente una $1$ y exactamente una $5$ . El número de enteros de cuatro dígitos con cifras distintas de cero que tienen exactamente una $1$ y exactamente una $5$ es $$4 \cdot 3 \cdot 7^2 = 588$$ ya que hay cuatro formas de colocar el $1$ tres formas de colocar el $5$ en uno de los lugares restantes, y $7$ opciones (que no sean $0$ , $1$ o $5$ ) para cada uno de los dos dígitos restantes.

Así, por el Principio de Inclusión-Exclusión, el número de enteros de cuatro dígitos que no tienen ningún cero y exactamente uno $1$ o exactamente una $5$ es $$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 2048 + 2048 - 588 = 3508$$