¿Por qué podemos encontrar una prueba Cramér-von Mises de nivel $\alpha$ ?

Question

Estoy leyendo la sección 6.5.2. de Estática Matemática de Shao sobre las pruebas de Cramér-von Mises y hay algo que no entiendo.

Contexto :

Dejemos que $X_1,...,X_n$ ser iid de una cdf continua $F$ . Queremos comprobar si la muestra proviene de alguna fdc continua $F_0$ : $$ \begin{cases} H_0 : F = F_0 \\ H_1 : F \neq F_0. \end{cases} $$

Las pruebas de Cramer-von Mises son pruebas que rechazan $H_0$ cuando $C_n(F_0) > c$ donde

$$ C_n(F) = \int (F_n(x)-F(x))^2 \; dF(x).$$

Pregunta :

En la página $448$ leemos lo siguiente " ... la distribución de $C_n(F)$ no depende de $F$ (ejercicio). Por lo tanto, una prueba Cramer-von Mises de tamaño $\alpha$ se puede encontrar. "

He conseguido resolver el ejercicio demostrando que

$$ C_n(F) = \frac{1}{12n^2} + \frac 1 n \sum_{i=1}^{n}\left(U_i-\frac{2i-1}{2n}\right)^2$$

donde $U_i = F(X_{(i)})$ se distribuye uniformemente en $[0,1].$ Sin embargo, no entiendo por qué esto implica que una prueba de nivel $\alpha$ se puede encontrar. ¿Por qué es así?

Si no me equivoco esto significa que podemos encontrar $c$ tal que

$$P_{H_0}(RH_0) = P(C_n(F_0) > c ) = \alpha.$$

¿Cómo sabemos que tal $c$ ¿existe?

Answer 1

Si no me equivoco, esto se remonta a la idea de un pivote (o una cantidad pivotante). Cuando se quiere construir una prueba estadística es necesario construir un intervalo de confianza y los pivotes son la forma teórica de hacerlo. Un pivote es una función de una muestra que hace no dependen de la función de distribución subyacente. Por ejemplo, dejemos que $X_1,\ldots,X_n$ ser iid con cdf común $F_X$ . Entonces un pivote $R = R(X_1,\ldots,X_n;F_X)$ es tal que \begin{align} F_R(x) = \mathbb{P}(R(X_1,\ldots,X_n;F_X) \leq x) \end{align} no depende de $F_X$ . El mejor ejemplo para un pivote es $$R = \sqrt{n}\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma}$$ cuando $X_i \sim N(\mu,\sigma^2)$ y $\bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ . Aquí tenemos claramente una dependencia de la muestra, mientras que $\mu$ y $\sigma$ son funciones de $F_X$ . No obstante, la distribución de $R$ no depende de $F_X$ de ninguna manera desde que tenemos $R \sim N(0,1)$ independientemente de la media y la varianza de $F_X$ .

En el caso de un pivote podemos encontrar (porque $F_R$ es estrictamente creciente) una constante $c$ independiente de $F_X$ tal que $1-F_R(c) = \mathbb{P}(R(X_1,\ldots,X_n;F_X) > c) \geq \alpha$ . Lo importante aquí es tener en cuenta que $c$ es independiente de $F_X$ así que $c$ no depende de la incógnita $F_X$ .

En su caso concreto $C_n(F)$ no depende de $F$ (siempre y cuando $F$ es continua, supongo), por lo que la función de distribución $G$ de $C_n(F)$ también es independiente de $F$ . Además, en este caso concreto $G$ también es continua. Por lo tanto, se puede elegir $c$ (independientemente de $F$ ) como un cuantil de $G$ para conseguir $$ \mathbb{P}(C_n(F) > c) = \alpha. $$