Por lo general, cuando intentamos escribir una función para ajustarla a un grupo de puntos (ajuste de curvas), es importante encontrar un equilibrio entre la precisión y la complejidad de la función. La siguiente imagen muestra diferentes ejemplos de ello.
Si la función es excesivamente simple a costa de la precisión, se ajustará mal (como en el caso de la línea). En cambio, si la función es excesivamente compleja, se ajustará en exceso (como en el caso de la curva de la derecha).
Estoy buscando una definición formal y ampliamente aceptada para la complejidad de la función. Una definición en la que estaba pensando era la de cuánto varía la pendiente. Dejando que la pendiente media de la función en un intervalo sea $\bar{m}$ entonces puedo escribir la complejidad como $$\int_a^b (f'(x)-\bar{m})^2 dx$$
donde $f(x)$ es la función, $a$ es el punto final inferior, y $b$ es el punto final superior.
Expandiendo el cuadrado, obtengo $$\int_a^b (f'(x)^2 - 2\bar{m}f'(x) + \bar{m}^2)dx = \int_a^bf'(x)^2dx - 2\bar{m}\int_a^bf'(x)dx + \bar{m}^2\int_a^bdx$$
Utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo en la segunda integral, obtengo $$\int_a^bf'(x)^2dx - 2\bar{m}(f(b)-f(a)) + \bar{m}^2(b-a)$$
Porque $\bar{m}$ es $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ Puedo simplificar la ecuación anterior para obtener $$\int_a^bf'(x)^2dx - \frac{\left(f(b)-f(a)\right)^2}{b-a}$$
Cuanto más alto sea este valor, más "compleja" y variada será la función. Si este valor es $0$ entonces $f(x)$ es una línea de $a$ a $b$ .
¿Existen otras medidas de la complejidad de una función? Si es así, ¿cuáles son las ecuaciones correspondientes?
Edición: No busco una función de complejidad dependiente de los puntos. Por ejemplo, $f(x) = x$ debería tener la misma complejidad independientemente de los puntos del gráfico.
Edición 2: Un problema con la anterior definición de complejidad es que $c^x$ tendría una complejidad muy alta (cuando creo que debería tener un valor más bajo). En concreto, desde $a$ a $b$ la complejidad es $$ \ln(c) \frac{c^{2b}-c^{2a}}{2} - \frac{(c^b-c^a)^2}{b-a}$$ que aumenta exponencialmente con respecto a $b$ .
