La suma de N (N ~Geo) variables aleatorias con distribución exponencial está distribuida exponencialmente

Question

Dejemos que $T_i$ para $i=1,2,...$ sea una secuencia de variables aleatorias exponenciales i.i.d con parámetro común $\lambda$ .

Dejemos que $N$ sea una variable aleatoria geométrica con parámetro $(1/(p+1))$ que es independiente de la secuencia $T_i$ .

Dejemos que $X$ sea la suma de los $T_i$ de 1 a $N$ Demuestre que la distribución de X es exponencial.

Me gustaría utilizar los MGF. No estoy seguro de cómo incorporar el MGF de N en este caso.

Answer 1

Consideremos un proceso de Poisson de tasa $\lambda$ . Independientemente, cada ocurrencia del proceso de Poisson es "especial" con probabilidad $q = 1/(p+1)$ . Su $T$ es el tiempo de espera hasta el primer suceso especial.

También se puede considerar desde otro punto de vista: los sucesos especiales y los no especiales forman procesos de Poisson independientes con tasas $q\lambda$ y $(1-q)\lambda$ . El tiempo de espera hasta el primer suceso especial es entonces exponencial con tasa $q\lambda$ .

Answer 2

Se pueden utilizar los MGF para obtener la distribución de la suma condicional $X \mid N$ y demostrar que ésta se distribuye de forma gamma con una tasa $\lambda$ y la forma $N$ . Entonces calcularíamos la distribución incondicional/marginal $X$ sumando todos los $N = 0, 1, 2, \ldots$ ponderado por la probabilidad $\Pr[N = n]$ .