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¿Cuáles son algunos resultados correctos descubiertos con pruebas incorrectas (o sin ellas)?

Muchos resultados famosos se descubrieron mediante pruebas no rigurosas, y las pruebas correctas sólo se encuentran más tarde y con mayor dificultad. Uno de los más conocidos conocido es la prueba de Euler de 1737 de que

1+122+132+142+=π261+122+132+142+=π26

en la que pretende que la serie de potencias para sinxx es un polinomio infinito y lo factoriza a partir del conocimiento de sus raíces.

Otro ejemplo, de distinto tipo, es el teorema de la curva de Jordan. En este caso el teorema parece obvio, y Jordan tiene el mérito de darse cuenta de que requiere prueba. Sin embargo, la prueba era más difícil de lo que él pensaba, y la primera prueba rigurosa se encontró algunas décadas después del intento de Jordan. Muchos de los teoremas básicos de la topología son así.

Luego, por supuesto, está Ramanujan, que está en una clase propia cuando se trata de cuando se trata de descubrir teoremas sin demostrarlos.

Me interesaría ver otros ejemplos, así como su opinión sobre lo que los ejemplos revelan sobre la conexión entre el descubrimiento y la prueba.

Aclaración . Cuando planteé la pregunta esperaba que surgieran algunas explicaciones para la brecha entre el descubrimiento y la prueba para emerger, sin ninguna insinuación de mi parte. Como esto no ha ocurrido todavía, permítanme sugerir algunas posibles explicaciones que tenía en mente:

Intuición física . Esto está detrás de resultados como el teorema de la curva de Jordan, el teorema del mapa de Riemann, el análisis de Fourier.

Falta de fundamentos . Esto explica la llegada tardía del rigor en el cálculo, la topología y (?) la geometría algebraica.

Complejidad . Los resultados difíciles no se pueden demostrar correctamente la primera vez, sólo a través de una serie de pruebas parcialmente correctas o incompletas. Ejemplo: El último teorema de Fermat.

Espero que esto dé una mejor idea de lo que estaba buscando. Siéntase libre de editar sus respuestas si tiene algo que añadir.

29voto

Effata Puntos 1514

Hay al menos dos Problemas de Hilbert que se consideraron resueltos, pero las pruebas resultaron ser incompletas, como señaló Yulii Ilyashenko.

  1. En 1923 Dulac publicó una memoria de más de 140 páginas en la que pretendía demostrar que un campo vectorial polinómico en el plano sólo tiene un número finito de ciclos límite, la segunda parte del 16º problema de Hilbert. La memoria era difícil de leer, pero la afirmación fue generalmente aceptada hasta que en 1981 Ilyashenko encontró una grave laguna. Las pruebas completas fueron obtenidas independientemente por Écalle e Ilyashenko alrededor de 1991. Lea la historia completa .

  2. La existencia de ecuaciones diferenciales lineales que tienen un grupo monodrómico prescrito fue el tema del 21º problema de Hilbert, también conocido como el problema de Riemann-Hilbert. En Artículo de Wikipedia :

Josip Plemelj publicó una solución en 1908. Este trabajo se aceptó durante mucho tiempo como solución definitiva; también hubo trabajos de G. D. Birkhoff en 1913, pero toda el área, incluidos los trabajos de Ludwig Schlesinger sobre las deformaciones isomonodrómicas que mucho más tarde se recuperarían en relación con la teoría de los solitones, pasó de moda. Plemelj elaboró en 1964 una monografía titulada Problems in the Sense of Riemann and Klein, (Pure and Applied Mathematics, nº 16, Interscience Publishers, Nueva York) en la que resumía su trabajo. Unos años más tarde, el matemático soviético Yuliy S. Il'yashenko y otros empezaron a plantear dudas sobre el trabajo de Plemelj. De hecho, Plemelj demuestra correctamente que cualquier grupo monodromático puede ser realizado por un sistema lineal regular que es fucsiano en todos los puntos singulares menos en uno. La afirmación de Plemelj de que el sistema puede hacerse fucsiano también en el último punto es errónea. (Il'yashenko ha demostrado que si uno de los operadores de monodromía es diagonalizable, entonces la afirmación de Plemelj es cierta).

De hecho, en 1989 el matemático soviético Andrey A. Bolibrukh (1950-2003) encontró un contraejemplo a la afirmación de Plemelj. Esto se considera comúnmente como un contraejemplo a la cuestión precisa que Hilbert tenía en mente; Bolibrukh demostró que para una configuración de polos dada, ciertos grupos de monodromía pueden ser realizados por sistemas regulares, pero no por sistemas fuchsianos.

26voto

Andrey Rekalo Puntos 16401

Según Weierstrass, Riemann conocía la existencia de funciones continuas no diferenciables en ninguna parte. ( El célebre ejemplo de Weierstrass se publicó en 1872, unos 6 años después de la muerte de Riemann). En sus conferencias, Riemann habría sugerido el ejemplo f(x)=k=1sink2xk2 ya en 1861. No dio ninguna prueba y se limitó a mencionar que podría haberse obtenido a partir de la teoría de las funciones elípticas (véase la nota histórica "El ejemplo de Riemann de una función continua "no diferenciable" continuada" de S.L. Segal).

Hardy demostró en 1916 que f no tiene una derivada finita en ningún x=πξ donde ξ es irracional, pero dejó abierto el caso general.

No fue hasta 1970 cuando J. Gerver demostró finalmente que la función de Riemann es de hecho diferenciable cuando x=π2m+12n+1,m,nZ, y f(x)=1/2 en estos puntos ( "La diferenciabilidad de la función de Riemann en ciertos múltiplos racionales de π" , ).

24voto

Andrey Rekalo Puntos 16401

La prueba defectuosa de Riemann de la Teorema del mapa de Riemann que se basaba fundamentalmente en Principio de Dirichlet .

El teorema fue enunciado por Bernhard Riemann en 1851 en su tesis doctoral. Lars Ahlfors escribió en una ocasión, en relación con la formulación original del teorema, que éste estaba "formulado en última instancia en términos que desafiarían cualquier intento de demostración, incluso con métodos modernos". La prueba defectuosa de Riemann dependía del principio de Dirichlet (cuyo nombre fue creado por el propio Riemann), que se consideraba sólido en aquella época. Sin embargo, Karl Weierstraß descubrió que este principio no era universalmente válido. Posteriormente, David Hilbert pudo demostrar que, en gran medida, el principio de Dirichlet es válido bajo la hipótesis con la que trabajaba Riemann.

La primera demostración del teorema se debe a Constantin Carathéodory, que lo publicó en 1912. Su demostración utilizaba superficies de Riemann y fue simplificada por Paul Koebe dos años más tarde de forma que no las necesitaba.

21voto

Rakesh Juyal Puntos 203

El teorema de los cuatro colores.

20voto

user5484 Puntos 101

Cuando Stephen Smale era un estudiante de posgrado, creía tener una prueba de la Conjetura de Poincaré como la siguiente: Tomemos una 3manifold compacta simplemente conectada M y eliminemos los interiores de dos 3 bolas disjuntas para obtener, digamos, M 1 teniendo como frontera dos copias de S 2 . Es fácil demostrar que M 1 tiene un campo vectorial no singular que entra a lo largo de un S 2 y saliendo por el otro. Evidentemente, por la conexión simple de M, cada órbita que entra por una componente de la frontera debe salir por la otra. Por tanto, M 1 debe ser S 2 x [0,1] y, por lo tanto, al sustituir las 3 bolas eliminadas, M debe haber sido S 3 . QED.

No estoy seguro de quién fue el primero en señalar el error, pero sin duda la comprensión de ejemplos como éste le ayudó a apreciar la sutileza del problema y, en última instancia, a demostrar la Conjetura de Poincaré Generalizada para dimensiones ≥ 5.

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