¿Cuáles son algunos resultados correctos descubiertos con pruebas incorrectas (o sin ellas)?

Question

Muchos resultados famosos se descubrieron mediante pruebas no rigurosas, y las pruebas correctas sólo se encuentran más tarde y con mayor dificultad. Uno de los más conocidos conocido es la prueba de Euler de 1737 de que

$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots =\frac{\pi^2}{6}$

en la que pretende que la serie de potencias para $\frac{\sin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ es un polinomio infinito y lo factoriza a partir del conocimiento de sus raíces.

Otro ejemplo, de distinto tipo, es el teorema de la curva de Jordan. En este caso el teorema parece obvio, y Jordan tiene el mérito de darse cuenta de que requiere prueba. Sin embargo, la prueba era más difícil de lo que él pensaba, y la primera prueba rigurosa se encontró algunas décadas después del intento de Jordan. Muchos de los teoremas básicos de la topología son así.

Luego, por supuesto, está Ramanujan, que está en una clase propia cuando se trata de cuando se trata de descubrir teoremas sin demostrarlos.

Me interesaría ver otros ejemplos, así como su opinión sobre lo que los ejemplos revelan sobre la conexión entre el descubrimiento y la prueba.

Aclaración . Cuando planteé la pregunta esperaba que surgieran algunas explicaciones para la brecha entre el descubrimiento y la prueba para emerger, sin ninguna insinuación de mi parte. Como esto no ha ocurrido todavía, permítanme sugerir algunas posibles explicaciones que tenía en mente:

Intuición física . Esto está detrás de resultados como el teorema de la curva de Jordan, el teorema del mapa de Riemann, el análisis de Fourier.

Falta de fundamentos . Esto explica la llegada tardía del rigor en el cálculo, la topología y (?) la geometría algebraica.

Complejidad . Los resultados difíciles no se pueden demostrar correctamente la primera vez, sólo a través de una serie de pruebas parcialmente correctas o incompletas. Ejemplo: El último teorema de Fermat.

Espero que esto dé una mejor idea de lo que estaba buscando. Siéntase libre de editar sus respuestas si tiene algo que añadir.

Answer 1

En 1905, Lebesgue dio una "prueba" del siguiente teorema:

Si $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ es una función Baire tal que para cada x, existe un único y tal que f(x,y)=0, entonces la función así definida implícitamente es Baire.

Utilizó el "hecho trivial" de que la proyección de un conjunto de Borel es un conjunto de Borel. Esto resulta ser erróneo, pero el resultado sigue siendo cierto. Souslin se dio cuenta del error y llamó a las imágenes continuas de los conjuntos de Borel conjuntos analíticos. Así pues, un error de Lebesgue condujo a la rica teoría de los conjuntos analíticos. Lebesgue aparentemente disfrutado este hecho y lo mencionó en el prólogo de un libro del profesor Lusin de Souslins.

Answer 2

Esta identidad aún no está probada:

$$\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{(7n+1)^2}+\frac{1}{(7n+2)^2}-\frac{1}{(7n+3)^2}+\frac{1}{(7n+4)^2}-\frac{1}{(7n+5)^2}-\frac{1}{(7n+6)^2}\right)=\frac{24}{7\sqrt{7}}\int_{\pi/3}^{\pi/2} \log \left| \frac{\tan t + \sqrt{7} }{\tan t - \sqrt{7} } \right| dt$$

Surgió de las aplicaciones físicas.

Answer 3

El "problema de Yamabe": Toda variedad riemanniana compacta admite una métrica conforme con curvatura escalar constante. Yamabe creía haber demostrado esto en 1960, pero su prueba tenía -no me lo estoy inventando- un error de signo. El error fue descubierto por Neil Trudinger en 1968, después de la muerte de Yamabe. Según tengo entendido, Trudinger estaba trabajando en un problema similar de una EDP elíptica no lineal (con un exponente de Sobolev crítico) y se quedó atascado, así que consultó el artículo de Yamabe para ver cómo había resuelto Yamabe el mismo problema. Resultó que no lo había hecho. Trudinger fue capaz de dar una solución parcial al problema; más tarde, Aubin la amplió para cubrir más casos, y finalmente, en 1984, Rick Schoen fue capaz de demostrar los casos que Aubin había dejado abiertos (con una pequeña laguna en el caso de dimensiones superiores que fue reparada por Schoen y Yau en 1988). La prueba utilizó sorprendentemente el teorema de la masa positiva de la relatividad general.

El artículo original de Yamabe no llamó mucho la atención hasta que se descubrió el error. Pero debido a la sutileza de los métodos necesarios para rellenar el hueco, se ha convertido en un modelo para las aplicaciones de las EDP elípticas no lineales a la geometría, especialmente a los problemas conformes invariantes y otros problemas con regularidad crítica.

Answer 4

El Problema de realización de Nielsen . Sea $S$ sea una superficie topológica compacta orientada y sea $\text{Mod}(S)$ sea su grupo de clases de mapeo es decir, el grupo de difeomorfismos que preservan la orientación de $S$ módulo de isotopía. Existe una suryección natural $\text{Diff}^+(S) \rightarrow \text{Mod}(S)$ . El problema de la realización de Nielsen era la conjetura (debida a Jacob Nielsen) de que todo subgrupo finito de $\text{Mod}(S)$ puede ser elevado a un subgrupo finito de $\text{Diff}^+(S)$ (y por tanto es un subgrupo del grupo de automorfismos de una superficie de Riemann).

Nielsen lo demostró para subgrupos cíclicos finitos (¡esto es muy poco trivial!), y otras personas fueron desgranando poco a poco otras clases de subgrupos finitos. En 1959, Kravetz publicó un artículo que pretendía demostrar que el espacio de Teichmuller es negativamente curvo. Un argumento de "centro de masa" establecería entonces que todo subgrupo finito de $\text{Mod}(S)$ fija un punto en el espacio de Teichmuller, y entonces se deduce fácilmente que el subgrupo finito puede ser elevado a $\text{Diff}^+(S)$ .

Este fue un resultado importante, y el documento de Kravetz se citó con frecuencia. Sin embargo, en 1971 Linch señaló en su tesis que el artículo de Kravetz tenía un error. De hecho, en su tesis de 1974 Howie Masur demostró que el espacio de Teichmuller no es negativamente curvo (en un sentido bastante fuerte).

Finalmente, en 1980 Steve Kerckhoff demostró que el espacio de Teichmuller, aunque no es negativamente curvo, satisface una sutil propiedad similar a la curvatura negativa que da el resultado deseado.

Answer 5

La prueba de Heegner en 1952 de que no existe un décimo campo cuadrático imaginario de clase uno es un ejemplo interesante. Se pensó que era incorrecta debido a algunas lagunas. Stark dio una prueba correcta en 1967 y explicó que era esencialmente la misma que la de Heegner. En 1969, Stark completó formalmente la laguna de la prueba de Heegner. Heegner "murió antes de que nadie entendiera realmente lo que había hecho" (Goldfeld). Esta información procede de http://en.wikipedia.org/wiki/Stark-Heegner_theorem .