Como estudiante de posgrado de Matemáticas, mi interés radica en la teoría de los números. Tengo curiosidad por saber si la teoría de números tiene alguna conexión o aplicación a la física. Nunca he oído hablar de ninguna aplicación de la teoría de los números a la física. He oído aplicaciones del álgebra lineal y del análisis a muchas ramas de la física, pero no de la teoría de números.
¡Esperando recibir respuestas interesantes!
No estoy seguro de poder publicar todos los enlaces que me gustaría (todavía no tengo suficientes "puntos de reputación"), pero intentaré señalar las principales referencias que conozco.
Matilde Marcolli tiene un bonito artículo titulado " Teoría de los números en física " explicando los diversos lugares de la Física donde aparece la Teoría de Números.
[Tangencialmente, hay un artículo de Christopher Deninger titulado " Algunas analogías entre la teoría de números y los sistemas dinámicos en espacios foliados " que puede abrir algunas ventanas en este tema: al fin y al cabo, los Sistemas Locales están en la base de gran parte de la Física moderna (formulaciones de paquetes, etc)].
Hay un sitio web llamado " Archivo de teoría de números y física " que contiene una amplia colección de enlaces a obras en esta interfaz.
Sir Michael Atiyah acaba de dar un hablar (la semana pasada) en la Conferencia Inaugural del Centro Simons, hablando de la reciente interacción entre la Física y las Matemáticas. Y culminó su charla especulando sobre la conexión entre la Gravedad Cuántica y la Hipótesis de Riemann. Se suponía que iba a dar una charla en la IAS sobre este último tema, pero se canceló.
Para terminar, permítanme traer el Dualidad de Langlands a la mesa: está relacionado con las Formas Modulares y, un tal, la Teoría de Números. (Versión cavalier: Piensa en la Integral de Trayectoria de QFT como si tuviera una simetría de Möbius con respecto a las constantes de acoplamiento en el Lagrangiano).
Una vez sacado esto del camino, creo que el mejor ángulo para ver la conexión entre la Teoría de Números y la Física es pensar en el problema de la física de una manera diferente: pensar en los puntos críticos en el Potencial y lo que significan en el Espacio de Fase (flujo Hamiltoniano y/o Geodésico: Jacobi convirtió uno en otro; piense en los campos de Jacobi en la Geometría Diferencial), piense en cómo se desarrolla esto en la QFT, piense en los Espacios de Módulos y su conexión con lo anterior. Así es como yo veo este marco... ;-)
Una idea medio tonta que he leído es la Gas primón un modelo en el que la función zeta de Riemann surge como función de partición de un sistema mecánico estadístico cuántico.
Más en serio, eche un vistazo a los documentos de Yuri Manin y Matilde Marcolli en el arxiv hep-th que intentan conectar el principio holográfico con la geometría aritmética. Creo que hay muchas esperanzas de que las técnicas de la física inspiradas en la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas puedan tener aplicaciones a varias ramas de las matemáticas, incluida la teoría de números (para este tipo de cosas, no puedo hacer nada mejor que señalar los escritos de John Baez ) -- No estoy tan al tanto de las aplicaciones de la teoría de los números al tipo de física que se puede probar experimentalmente (aunque me encantaría que me corrigieran).
Un ejemplo no relacionado: Freeman Dyson ha hecho vagas especulaciones sobre los cuasicristales y la hipótesis de Riemann, puede leerlo junto con alguna historia entretenida en este artículo .
Hay un fantástico artículo sobre la relación entre la Hipótesis de Riemann y el "caos cuántico" en www.msri.org/ext/Emissary/EmissarySpring02.pdf (comienza en la página 1, continúa en la página 12).
He aquí un extracto (recuerde que Conjetura de Montgomery es una conjetura sobre el número esperado de ceros de la función zeta de Riemann que siguen a un cero en un intervalo de cierta longitud):
Montgomery se sorprendió al descubrir que Dyson conocía muy bien la bastante complicada complicada función que aparecía en conjetura de Montgomery, e incluso la conocía en el contexto de la comparación de las brechas entre puntos con la brecha media. Sin embargo, lo más sorprendente es que no era de la teoría de números que Dyson conoció esta función, sino de la mecánica mecánica cuántica. Es precisamente la función que el propio Dyson había encontrado una década antes al modelar los niveles de energía niveles de energía en sistemas dinámicos complejos al adoptar un punto de vista de la física cuántica. punto de vista de la física cuántica. Ahora se cree que la misma estadística describe los niveles de energía niveles de energía de los sistemas caóticos; en otras palabras, ¡el caos cuántico!
El artículo describe también algunas otras conexiones sorprendentes, entre diferentes funciones zeta y los niveles de energía de otros tipos de sistemas caóticos. En lugar de copiarlas aquí (no puedo resumirlas, ya que yo mismo no las entiendo bien), terminaré con una cita del artículo:
En resumen, lo más intuitivo desarrollo del caos cuántico permite predicciones más fructíferas sobre la distribución de los primos (y más allá). Por otro lado, el desarrollo más cauteloso desarrollo de la teoría de los números primos conduce a predicciones más precisas en caos cuántico.
No era consciente de esto hasta hace muy poco, cuando leí casualmente este artículo sobre Ramanujan expresiones para las formas modulares (que son una forma de funciones holomorfas que dejan invariantes ciertos entramados, y se estudian ampliamente por sus aplicaciones en la teoría de los números). Al parecer existe algo llamado "agujeros negros modulares" que no tengo la menor idea de qué se trata, pero se menciona que son termodinámicamente cercanos a los agujeros negros normales, por lo que pueden utilizarse para calcular ciertas funciones de desorden de los grados de libertad del horizonte de sucesos
Preferiría que alguien diera una respuesta autorizada mencionando más detalles sobre esto, ya que mis divagaciones están más o menos extraídas sin modificar del artículo. Espero que alguien que realmente entienda de esto se moleste lo suficiente por mi respuesta y proporcione una verdadera.
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