Dejemos que $X=\cup X_i$ sea un espacio topológico, donde $X_i$ s son los componentes conectados de $X$ , si $f$ es una función de valor real sobre $X$ de tal manera que sus restricciones a $X_i$ s son continuos. Es $f$ continua en $X$ ?
Respuesta
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failexam
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Pista: Si esto fuera cierto, toda función real sobre $\mathbb{Q}$ sería continua.
Explicación: $\mathbb{Q}$ es totalmente desconectado, lo que significa que cada componente conectado es un singleton. Toda función sobre un singleton es continua. Por lo tanto, suponiendo que la "proposición" enunciada sea cierta, se deduce que cualquier función real definida sobre $\mathbb{Q}$ es continua. Pero es evidente que esto no es cierto. Tomemos $\chi_{\mathbb{Q_{\geq 0}}}$ por ejemplo (la función de indicador).
Como observación especial, si hay FINALES componentes conectados, es cierto. Esto se debe a que, dado que toda componente conectada es cerrada, un número finito de componentes conectadas implica que también son abiertas. Por lo tanto, forman una cobertura abierta del espacio.
