¿Cuál es el valor esperado de la variable aleatoria con el siguiente pdf

Question

Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria con pdf $$f(x \mid \sigma) = \dfrac{1}{2\sigma}\exp\left(-\dfrac{|x|}{\sigma}\right)\text{, } x \in (-\infty, \infty)\text{, }\sigma > 0\text{.}$$

Estos son mis pasos: $$E(X) = \int^{}_{-}\frac{xe^\frac{-|x|}{}}{2}dx = \int^{0}_{-}\frac{xe^\frac{x}{}}{2}dx + \int^{}_{0}\frac{xe^\frac{-x}{}}{2}dx = [\frac{1}{2}(\frac{x}{} - 1)e^\frac{x}{}]|^{0}_{-} - [\frac{1}{2}(\frac{x}{} + 1)e^\frac{-x}{}]|^{}_{0} = \frac{1}{2}(-1) - \frac{1}{2} = -1$$

Pero esto no tiene sentido... ¿En qué me he equivocado? Estoy muy confundido.

Answer 1

Aquí $f(x) = \frac{1}{2\sigma} e^{-\frac{|x|}{\sigma}};\quad -\infty < x < \infty,\quad \sigma > 0$ .

Ahora, $$ \begin{eqnarray} E(X) &=& \frac{1}{2\sigma} \int_{-\infty}^{\infty} x e^{-\frac{|x|}{\sigma}} dx\\ &=& \frac{1}{2\sigma} \int_{-\infty}^{0} x e^{-\frac{|x|}{\sigma}} dx + \frac{1}{2\sigma} \int_{0}^{\infty} x e^{-\frac{|x|}{\sigma}} dx\\ &=& I_1 + I_2\\ \end{eqnarray} $$ Tenga en cuenta que $$\begin{eqnarray}|x| &=& x; \quad x>0\\ &=& -x; \quad x<0\end{eqnarray}$$

Primero considere $I_1$ : $$ \begin{eqnarray} I_1 &=& \frac{1}{2\sigma} \int_{-\infty}^{0} x e^{-\frac{|x|}{\sigma}} dx\\ &=& \frac{1}{2\sigma} \int_{-\infty}^{0} x e^{\frac{x}{\sigma}} dx\\ &=& \frac{1}{2\sigma}\left[\left\{x\int e^{\frac{x}{\sigma}}dx\right\}_{-\infty}^0 - \int_{-\infty}^0 \left\{\frac{d}{dx}x \int e^{\frac{x}{\sigma}}dx\right\}dx\right]; \text{by partial integration}\\ &=&0 \end{eqnarray} $$

Considerar a continuación $I_2$ : $$ \begin{eqnarray} I_2 &=& \frac{1}{2\sigma} \int_{0}^{\infty} x e^{-\frac{|x|}{\sigma}} dx\\ &=& \frac{1}{2\sigma} \int_{0}^{\infty} x e^{-\frac{x}{\sigma}} dx \end{eqnarray} $$

Tomando $\frac{x}{\sigma} = u$ esta integral se convierte simplemente en $\frac{\sigma}{2}$ .

Por lo tanto, la expectativa real es $\frac{\sigma}{2}$ .