$\ln (2 x-5)>\ln (7-2 x)$

Question

Resolver

$$\ln (2 x-5)>\ln (7-2 x)$$

La respuesta se da como $$3<x<7/2$$

Esto es lo que he hecho $$\ln (2 x-5)-\ln (7-2 x)>0$$

$$\ln \left(\frac{2 x-5}{7-2 x}\right)>0$$

Sin embargo, no soy capaz de entender cómo llegar a la respuesta proporcionada.

Answer 1

Buen trabajo, ya casi lo tienes:

$$\ln \left(\frac{2 x-5}{7-2 x}\right)>0 \\ \frac{2 x-5}{7-2 x}>\underbrace{e^0}_{1} \\ 2 x-5>7-2x \\ 4x>12 \\ x>3$$

Eso se encarga de la primera parte, pero también hay que recordar que el parámetro de $\ln$ tiene que ser mayor que $0$ ( $e$ a cualquier potencia no le dará un número menor o igual a $0$ ). En otras palabras, también hay que decir esto:

$$\begin{cases}2 x-5>0\\7-2 x>0\end{cases}$$

Resuelto: $$\begin{cases}x>\frac52\\x<\frac72\end{cases}$$

$x$ es efectivamente mayor que $\frac{5}{2}$ como descubrimos, pero también debe ser mejor que $3$ . Por lo tanto, podemos ignorar eso porque tenemos $x>3$ . Ahora tenemos un límite superior, de $x<\frac72$ porque después de ese punto la respuesta no estará definida. Así que la respuesta correcta es $$\therefore 3<x<\frac72$$

Answer 2

Sugerencia

Si $$\ln \left(\frac{2 x-5}{7-2 x}\right)>0$$ implica que $$\frac{2 x-5}{7-2 x}>1$$ Pero cuidado : el logaritmo es tal que su argumento debe ser positivo.

Estoy seguro de que puede tomar de aquí.

Answer 3

La exponenciación es una función uno a uno, creciente por lo tanto:

$\ln (2x-5) > \ln (7-2x)\\ e^{\ln (2x-5)} > e^{\ln (7-2x)}\\ 2x-5>7x-2\\ ...\\ x>3$

Sin embargo, también hay que tener en cuenta los dominios:

$2x-5>0$ da $x>\frac{5}{2}$ y $7-2x>0$ da $x<7/2$ . Tenemos que poner todas las desigualdades $x>3$ y $x>\frac{5}{2}$ y $x<\frac{7}{2}$ Juntos. Esto da la respuesta $3<x<\frac{7}{2}$