Es un punto fijo, que se atrae en una colector $M$ siempre es globalmente estable si $M$ ¿se atrae a nivel mundial?

Question

Empecemos con un ejemplo de sistema de ecuaciones de juguete

$$\begin{align} \frac{dx}{dt}&=x(1-x)-xy\\ \frac{dy}{dt}&=-y \end{align}$$

Me gustaría mostrar $(1,0)$ tiene una cuenca de atracción que incluye todo $B:=\{(x,y): 0<x<1, y\geq 0 \}$ . El eje x atrae, obviamente, a $B$ , dado $dy/dt=-y$ . Y en el eje x, el punto x=1 atrae a todos los positivos $x$ . ¿Cómo podemos demostrar que todas las trayectorias con condiciones iniciales en $B$ flujo a $(1,0)$ . ¿Y este concepto se generaliza a los sistemas siguientes?

La pregunta general en 2D, dado un sistema dinámico

$$\begin{align} \frac{dx}{dt}=f(x,y)\\ \frac{dy}{dt}=g(x,y) \end{align}$$

con una curva de atracción global $C:=\{(x,y): y=h(x)\}$ , de manera que todos los puntos $(x,y)$ no en $C$ acercarse a $C$ . Mi pregunta es, si existe un punto fijo único $(x^*,y^*)$ en $C$ tal que atraiga todos los puntos de la curva $C$ podemos llamar a ese punto fijo globalmente estable. Intuitivamente parece que tiene que serlo. Me pregunto si alguien tiene una prueba para esta proposición o un contraejemplo.

Answer 1

Si tenemos las definiciones correctas, podemos tener una declaración precisa que es más o menos lo que necesita.

Para simplificar, dejemos que $z = (x,y) \in \mathbb{R}^2$ y denotar por $$X(z) = f(x,y) \frac{\partial}{\partial x} + g(x,y) \frac{\partial}{\partial y}$$ el campo vectorial correspondiente a la dina suave (o analítica real o polinómico) del sistema dinámico $$\begin{align*} \frac{dx}{dt} &= f(x,y)\\ \frac{dy}{dt} &= g(x,y) \end{align*}$$ que también escribiremos como $$\dot{z} = X(z)$$ Para simplificar, denotamos por $o = (o_1,o_2) \in \mathbb{R}^2$ el equilibrio punto de $X(z)$ es decir $X(o) = 0$ . Además, al $\phi^t(z)$ nosotros definimos el flujo de fase de $X(z)$ . Es decir $\phi^t(z)$ resuelve el problema de valor inicial

$$\frac{d}{dt} \, \phi^t(z) = X\big(\phi^t(z)\big)$$ $$\phi^0(z) = z$$

Definición 1. Dejemos que $\gamma = \big\{(x,h(x)) \in \mathbb{R}^2 \,\, | \,\, x \in [a,b]\, \big\}$ sea un liso compacto incrustado (o analítico real) en $\mathbb{R}^2$ . Lo llamamos curva invariante del campo vectorial $X$ siempre que

$\bullet$ $\gamma$ es invariante bajo el flujo $\phi^t(z)$ es decir, si $z \in \gamma$ entonces $\phi^t(z) \in \gamma$ para todos $t\geq 0$ que es verdadera si y sólo si el campo vectorial $X(z)$ es tangente a $\gamma$ para cada $z \in \gamma$ y apunta hacia el interior en los puntos extremos de $\gamma$ .

Definición 2. La curva invariante $\gamma$ de $X$ se llama estable siempre que

$\bullet$ para cualquier conjunto abierto $U$ que contiene $\gamma$ existe un abierto abierto $V$ que contiene $\gamma$ de manera que si $z\in V$ entonces $\phi^t(z) \in U$ para todos $t\geq 0$ . Claramente, $V \subseteq U$ .

Definición 3. La curva invariante $\gamma$ de $X$ se llama atraer con la cuenca de atracción $BA \subseteq \mathbb{R}^2$ siempre que

1. $\gamma$ es estable;

2. $\gamma \subset BA$ , donde $BA$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^2$ ;

3. Para cualquier conjunto abierto $U$ que contiene $\gamma$ y cualquier $z \in BA$ existe $T\geq 0$ tal que $\phi^t(z) \in U$ para cualquier $t \geq T$ .

4. El conjunto abierto $BA$ es el conjunto abierto máximo con propiedades 1, 2, 3 anteriores.

Definiciones similares se aplican al punto $o = (o_1,o_2) \in \mathbb{R}^2$ .

Definición 4. El punto de equilibrio $o = (o_1,o_2) \in \mathbb{R}^2$ de $X$ se llama estable siempre que

$\bullet$ para cualquier conjunto abierto $U$ que contiene $o$ existe un conjunto abierto $V$ que contiene $o$ de manera que si $z \in V$ entonces $\phi^t(z) \in U$ para todos $t\geq 0$ . Claramente, $V \subseteq U$ .

Definición 5. El punto de equilibrio $o = (o_1,o_2) \in \mathbb{R}^2$ de $X$ se llama atraer con la cuenca de atracción $BA \subseteq \mathbb{R}^2$ siempre que

1. $o$ es estable;

2. $o \in BA$ , donde $BA$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^2$ ;

3. Para cualquier conjunto abierto $U$ que contiene $o$ y cualquier $z \in BA$ allí existe $T\geq 0$ tal que $\phi^t(z) \in U$ para cualquier $t \geq T$ .

4. El conjunto abierto $BA$ es el conjunto abierto máximo con propiedades $1, 2, 3$ arriba.

Para ambas definiciones de atracción, podemos demostrar que, debido a su maximalidad, la cuenca de atracción $BA$ es un conjunto abierto invariable para el campo vectorial $X$ es decir $\phi^t(z) \in BA$ para cualquier $z \in BA$ y $t \geq 0$ .

Teorema. Dejemos que $\gamma = \big\{(x,h(x)) \in \mathbb{R}^2 \,\, | \,\, x \in [a,b]\, \big\}$ sea una suave (o analítica real) invariante (¡compacta!) para el sistema dinámico suave (analítico real o polinómica) en el sistema dinámico $\mathbb{R}^2$ dado por el vector campo $X(z)$ arriba.

1. Sea $o = (o_1,o_2)$ sea el único punto de equilibrio de $X(z)$ en la cama $\gamma$ ;

2. Sea $\lim_{t \to \infty} \, \phi^t(z) = o$ para todos $z \in \gamma$ .

3. Supongamos que la curva invariante $\gamma$ se atrae con cuenca de atracción $BA \subset \mathbb{R}^2$ (abierto);

Entonces el punto de equilibrio $o$ está atrayendo con la cuenca de atracción $BA$ y por lo tanto (asintóticamente) estable.

Observe que en su ejemplo, el conjunto $B$ no es una cuenca de atracción. No es máxima. Y el punto de equilibrio se maneja sólo en un lado de la curva invariante, mientras que en general se debería manejar desde todos los lados (derecha e izquierda arriba y abajo).

Answer 2

Así que para el ejemplo, sólo hay que elegir la función de Lyapunov

$$\begin{equation} V(x,y)=y^2+(x+y-1)^2 \end{equation}$$

Claramente, $V(k,0)=0$ y $V(x,y)>0$ para todos $(x,y)\neq(k,0)$ en $B$ . Nota

$$\begin{align} \dot{V}(x,y)&=2y\dot{y}+2(x+y-1)\dot{x}+2(x+y-1)\dot{y}\\ \end{align}$$

Caso (1) $x>y-1$ : el primer y el tercer término son siempre negativos porque $\dot{y}$ es negativo. El segundo término es negativo porque $x>y-1$ sólo incluye puntos por encima del $dx/dt$ nullcline y por lo tanto, $\dot{x}>0$ .

Caso (2) $x<y-1$ : El segundo término es negativo porque $x<y-1$ significa $(x+y-1)<0$ sincle también significa $(x,y)$ está por debajo del $dx/dt$ nullcline y por lo tanto, $\dot{x}>0$ . Obsérvese que el tercer término es positivo. Sin embargo, porque $|x+y-1|<y$ (nota $0<x \leq 1$ requerida para estar en $B$ ) es menos positivo que el primer término es negativo.

Caso (3) $x=y-1$ : $\dot{V}=-2y^2<0$ .

Por lo tanto, $(k,0)$ atrae todas las trayectorias en $B$ . Aquí exploté el hecho de que las trayectorias siempre fluyen hacia el eje x, y el hecho de que en la dirección x fluyen hacia el $dx/dt$ nullcline, por lo que elegí $[x-x_{nullcline}(y)]^2$ en la función de Lyapunov.

Desgraciadamente, no creo que siempre se pueda explotar esto, así que no ayuda a la propuesta general, pero puede aportar alguna idea.