Si tenemos las definiciones correctas, podemos tener una declaración precisa que es más o menos lo que necesita.
Para simplificar, dejemos que $z = (x,y) \in \mathbb{R}^2$ y denotar por $$X(z) = f(x,y) \frac{\partial}{\partial x} + g(x,y) \frac{\partial}{\partial y}$$ el campo vectorial correspondiente a la dina suave (o analítica real o polinómico) del sistema dinámico \begin{align*} \frac{dx}{dt} &= f(x,y)\\ \frac{dy}{dt} &= g(x,y) \end{align*} que también escribiremos como $$\dot{z} = X(z)$$ Para simplificar, denotamos por $o = (o_1,o_2) \in \mathbb{R}^2$ el equilibrio punto de $X(z)$ es decir $X(o) = 0$ . Además, al $\phi^t(z)$ nosotros definimos el flujo de fase de $X(z)$ . Es decir $\phi^t(z)$ resuelve el problema de valor inicial
$$\frac{d}{dt} \, \phi^t(z) = X\big(\phi^t(z)\big)$$ $$\phi^0(z) = z$$
Definición 1. Dejemos que $\gamma = \big\{(x,h(x)) \in \mathbb{R}^2 \,\, | \,\, x \in [a,b]\, \big\}$ sea un liso compacto incrustado (o analítico real) en $\mathbb{R}^2$ . Lo llamamos curva invariante del campo vectorial $X$ siempre que
$\bullet$ $\gamma$ es invariante bajo el flujo $\phi^t(z)$ es decir, si $z \in \gamma$ entonces $\phi^t(z) \in \gamma$ para todos $t\geq 0$ que es verdadera si y sólo si el campo vectorial $X(z)$ es tangente a $\gamma$ para cada $z \in \gamma$ y apunta hacia el interior en los puntos extremos de $\gamma$ .
Definición 2. La curva invariante $\gamma$ de $X$ se llama estable siempre que
$\bullet$ para cualquier conjunto abierto $U$ que contiene $\gamma$ existe un abierto abierto $V$ que contiene $\gamma$ de manera que si $z\in V$ entonces $\phi^t(z) \in U$ para todos $t\geq 0$ . Claramente, $V \subseteq U$ .
Definición 3. La curva invariante $\gamma$ de $X$ se llama atraer con la cuenca de atracción $BA \subseteq \mathbb{R}^2$ siempre que
1. $\gamma$ es estable;
2. $\gamma \subset BA$ , donde $BA$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^2$ ;
3. Para cualquier conjunto abierto $U$ que contiene $\gamma$ y cualquier $z \in BA$ existe $T\geq 0$ tal que $\phi^t(z) \in U$ para cualquier $t \geq T$ .
4. El conjunto abierto $BA$ es el conjunto abierto máximo con propiedades 1, 2, 3 anteriores.
Definiciones similares se aplican al punto $o = (o_1,o_2) \in \mathbb{R}^2$ .
Definición 4. El punto de equilibrio $o = (o_1,o_2) \in \mathbb{R}^2$ de $X$ se llama estable siempre que
$\bullet$ para cualquier conjunto abierto $U$ que contiene $o$ existe un conjunto abierto $V$ que contiene $o$ de manera que si $z \in V$ entonces $\phi^t(z) \in U$ para todos $t\geq 0$ . Claramente, $V \subseteq U$ .
Definición 5. El punto de equilibrio $o = (o_1,o_2) \in \mathbb{R}^2$ de $X$ se llama atraer con la cuenca de atracción $BA \subseteq \mathbb{R}^2$ siempre que
1. $o$ es estable;
2. $o \in BA$ , donde $BA$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^2$ ;
3. Para cualquier conjunto abierto $U$ que contiene $o$ y cualquier $z \in BA$ allí existe $T\geq 0$ tal que $\phi^t(z) \in U$ para cualquier $t \geq T$ .
4. El conjunto abierto $BA$ es el conjunto abierto máximo con propiedades $1, 2, 3$ arriba.
Para ambas definiciones de atracción, podemos demostrar que, debido a su maximalidad, la cuenca de atracción $BA$ es un conjunto abierto invariable para el campo vectorial $X$ es decir $\phi^t(z) \in BA$ para cualquier $z \in BA$ y $t \geq 0$ .
Teorema. Dejemos que $\gamma = \big\{(x,h(x)) \in \mathbb{R}^2 \,\, | \,\, x \in [a,b]\, \big\}$ sea una suave (o analítica real) invariante (¡compacta!) para el sistema dinámico suave (analítico real o polinómica) en el sistema dinámico $\mathbb{R}^2$ dado por el vector campo $X(z)$ arriba.
1. Sea $o = (o_1,o_2)$ sea el único punto de equilibrio de $X(z)$ en la cama $\gamma$ ;
2. Sea $\lim_{t \to \infty} \, \phi^t(z) = o$ para todos $z \in \gamma$ .
3. Supongamos que la curva invariante $\gamma$ se atrae con cuenca de atracción $BA \subset \mathbb{R}^2$ (abierto);
Entonces el punto de equilibrio $o$ está atrayendo con la cuenca de atracción $BA$ y por lo tanto (asintóticamente) estable.
Observe que en su ejemplo, el conjunto $B$ no es una cuenca de atracción. No es máxima. Y el punto de equilibrio se maneja sólo en un lado de la curva invariante, mientras que en general se debería manejar desde todos los lados (derecha e izquierda arriba y abajo).
