Mínimo de espectro

Question

Dejemos que $M$ sea un álgebra de von Neumann y $e$ un proyector.

¿Es cierto que $min Spec_M(x)\leq min Spec_{eMe}(exe)$ para $x$ positivo en $M$ ?

Gracias.

Answer 1

Sí. Si $\min\sigma_M(x)=0$ No hay nada que probar. Si $\min\sigma_M(x)>0$ existe $\delta>0$ con $\min\sigma_M(x)>\delta$ . supongamos que $\delta<\alpha<\min\sigma_M(x)$ . Entonces $x-\alpha\geq \alpha-\delta>0$ . Esto nos da $$ exe-\alpha e=e(x-\alpha)e\geq(\alpha-\delta)e, $$ así que $exe-\alpha e$ es invertible. Como esto se puede hacer para cualquier $\alpha\in(0,\min\sigma_M(x))$ Esto demuestra que $$ \min\sigma_{eMe}(exe)\geq\min\sigma_M(x). $$