Esta es mi respuesta a la primera pregunta (yo no la llamaría obvia).
Para $g\in G$ definir $$(m+M\Delta K)g:=me+M\Delta K$$ para algunos $e\in\pi^{-1}(\{g\})$ . Esto no depende de la elección de $e$ .
De hecho, si $\pi(e)=\pi(f)$ entonces $ef^{-1}\in K$ por la exactitud. Ahora aplicamos el mapa de aumento $A:\mathbb{Z}K\to\mathbb{Z}$ para conseguir $A(ef^{-1})=1$ y así $ef^{-1}-1\in \Delta K$ . Esto significa que $m(ef^{-1}-1)\in M\Delta K$ y como $M\Delta K$ es un $E$ -submódulo (debido a $K$ ser normal en $E$ ) entonces se multiplica por $f$ para conseguir $m(e-f)\in M\Delta K$ que significa $me+M\Delta K=mf+M\Delta K$ . Demostrar que la acción está bien definida.
¿Y qué pasa con la otra pregunta? Empecemos por la estándar (derecha) $\mathbb{Z}E$ acción sobre $\mathbb{Z}G$ dado por $g\cdot e:=g\pi(e)$ . Esto tiene algunas propiedades interesantes en el producto tensorial, a saber
$$me\otimes 1=m\otimes \pi(e)$$
Y como $\pi$ es onto, entonces cada elemento del producto tensorial es de la forma $m\otimes 1$ . Tenga en cuenta que $me\otimes 1=mf\otimes 1$ si $\pi(e)=\pi(f)$ . ¿Te resulta familiar? Aún mejor, esto nos da una forma natural de definir un $G$ -estructura de módulo en $M\otimes\mathbb{Z}G$ , a saber
$$(m\otimes 1)\cdot g:=m\otimes g=me\otimes 1$$
para $e\in\pi^{-1}(\{g\})$ .
Finalmente tenemos un morfismo $M\to M\otimes\mathbb{Z}G$ dado por $m\mapsto m\otimes 1$ . Y lo que hemos discutido hasta ahora muestra que se trata de un epimorfismo. El siguiente paso es utilizar el primer teorema de isomorfismo para $\mathbb{Z}E$ y demostrar que el isomorfismo inducido preserva $\mathbb{Z}G$ acción (recuerde que $M$ no es un $\mathbb{Z}G$ ) que en este caso debería ser trivial. Sin embargo, el cálculo del núcleo es un poco difícil. Pero debería ser similar a la primera sección.
