Dejemos que $D\subseteq\mathbb C $ sea un conjunto conexo y considere $f,g\in\mathcal M(D)$ La relación $r=\frac{f}{g}$ tiene el conjunto de polos $P(r)\subseteq P(f)\cup Z(g)$ (donde $Z()$ es el conjunto de todos los ceros). ¿Por qué es $P(r) $ discreto en $D$ ? Creo que la unión disjunta de conjuntos discretos no es discreta, considere por ejemplo $$\{0\}\cup\big\{\frac{1}{n} : n\in\mathbb N\big\}$$
Respuestas
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El conjunto de polos o el conjunto cero de una función meromorfa no nula no sólo es discreto, sino que es cerrado (¡las funciones meromorfas son continuas!), lo que elimina tu ejemplo.
Los subconjuntos cerrados y discretos de $\mathbb C$ también puede describirse por la propiedad de que su intersección con cualquier subconjunto compacto de $\mathbb C$ es finito. Entonces es obvio que la reunión de dos de estos subconjuntos es de nuevo cerrada y discreta.
Supongamos que $S$ es cerrado y discreto, y dejemos que $K$ sea un subconjunto compacto de $\mathbb C$ . Desde $S$ es discreto, para cada elemento $x \in S \cap K$ Hay un espacio abierto $U_x$ de $K$ que contiene $x$ tal que $U_x \cap S = \{ x \}$ . Desde $S$ está cerrado, $K \setminus S$ es un abierto de $K$ . Entonces, tenemos que $K \setminus S$ junto con todos los $U_x$ forman una cubierta abierta de $K$ . Desde $K$ es compacto, podemos extraer una subcubierta finita. Pero para cada $x \in S \cap K$ , $U_x$ era el único abierto que contenía $x$ por lo que esta cubierta finita todavía tiene que contener cada $U_x$ por lo que había un número finito de $x \in S \cap K$ en primer lugar.
Supongamos que para cada compacto $K$ , $S \cap K$ es finito. Entonces $S$ está cerrado : si $x \notin S$ entonces hay un número finito de elementos de $S$ en el disco de radio $1$ centrado en $x$ por lo que sus distancias a $x$ tiene un mínimo $d>0$ y no hay elementos de $S$ en el disco abierto de radio $d$ centrado en $x$ . $S$ es discreto : Si $x \in S$ repite el argumento en el que $S$ se sustituye por $S \setminus \{ x \}$
M Turgeon
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Mira esto pregunta (y las respuestas). Allí se demuestra que cualquier función meromorfa es el cociente de dos funciones holomorfas, y viceversa. Por tanto, el cociente de dos funciones meromorfas vuelve a ser meromorfo, ya que el cociente de dos cocientes de funciones holomorfas vuelve a ser un cociente de funciones holomorfas. En símbolos:
Escriba $f=\dfrac{f_1}{f_2}$ y $g=\dfrac{g_1}{g_2}$ . Entonces $$r=\dfrac{f}{g}=\dfrac{\frac{f_1}{f_2}}{\frac{g_1}{g_2}}=\dfrac{f_1g_2}{f_2g_1}.$$
