Encuentra el vector de norma mínima...

Question

Estoy trabajando en este ejercicio:

Demuestre que el subconjunto $ M = $ { $y= (\eta_j) ; \sum \eta _j= 1$ } de espacio complejo $\mathbb{C^{n}}$ es completa y convexa. Encuentre el vector de mínima norma en M.

He probado la parte de completitud y convexidad, pero no he podido encontrar el vector minimizador. Tengo la sospecha de que es $(\frac{1}{n},\frac{1}{n},...,\frac{1}{n})$ pero no pude encontrar un argumento.

¿Podría ayudarme? Gracias de antemano.

Answer 1

Su conjetura es correcta. Puedes ver este problema como un problema de optimización con restricciones: $$ \min\sum_j(a_j^2+b_j^2)\quad\text{s.t.}\;\sum_ja_j=1,\;\sum_jb_j=0. $$ Set $f(a,b) = \sum_j(a_j^2+b_j^2)$ , $g(a,b) = \sum_ja_j - 1$ y $h(a,b)=\sum_jb_j$ . Entonces $$ f'(a,b) = 2(a,b),\quad g'(a,b) = (\mathbf{1},0), \quad\text{and}\quad h'(a,b) = (0,\mathbf{1}). $$ Según Lagrange, si $(a,b)$ es un óptimo, existen números $\lambda,\mu$ tal que $$ f'(a,b) = \lambda g'(a,b) + \mu h'(a,b). $$ Por lo tanto, $$ 2(a,b) = \lambda(\mathbf 1,0) + \mu(0,\mathbf 1) = (\lambda,\ldots,\lambda,\mu,\ldots,\mu). $$ Por lo tanto, tenemos $a_1=\ldots=a_n$ y $b_1 =\ldots = b_n$ . Las restricciones $g(a,b)=0$ y $h(a,b)=0$ ahora implica que $a_j = \frac 1n$ para todos $j$ y $b_j = 0$ para todos $j$ Por lo tanto $\eta_j = \frac 1n$ para todos $j$ .

Answer 2

Esto también se deduce directamente de la desigualdad de Cauchy-Schwarz: $$ \sum_{j=1}^n \eta_j=\sum_{j=1}^n \eta_j\cdot 1\leq \left(\sum_{j=1}^n |\eta_j|^2\right)^{1/2}\left(\sum_{j=1}^n 1\right)^{1/2}=n^{1/2}\left(\sum_{j=1}^n |\eta_j|^2\right)^{1/2} $$ Con igualdad si y sólo si existe $\lambda\geq 0$ tal que $\eta_j=\lambda$ para todos $j\in\{1,\dots,n\}$ . La restricción $\sum_j \eta_j=1$ se satisface entonces si y sólo si $\lambda=1/n$ .