¿Cómo encontrar el valor medio de varios resultados de medición si conocemos sus incertidumbres estadísticas y sistemáticas? Es posible que no exista la mejor manera de hacerlo, pero sería útil saber cómo se hace en diferentes áreas de la física/ciencia.
Respuestas
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Eric Grunzke
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Si todas tus mediciones son completamente independientes, entonces sumaría los errores estadísticos y sistemáticos en cuadratura para encontrar la incertidumbre efectiva en cada medición, $$ (\sigma^i_\text{effective})^2 = (\sigma_\text{stat}^i)^2 + (\sigma_\text{syst}^i)^2, $$ y encontrar la media ponderada por el error como sugiere Dai, $$ \left< x \right> = \frac{\sum x_i / (\sigma_\text{effective}^i)^2}{\sum (\sigma_\text{effective}^i)^{-2}}, $$ donde la incertidumbre sobre la media es $$ (\sigma_\text{effective}^\text{mean})^{-2} = {\sum (\sigma_\text{effective}^i)^{-2}}. $$ Si sus mediciones son estadísticamente independientes pero comparten una incertidumbre sistemática común -por ejemplo, tiene varios experimentos que utilizan una técnica relacionada para determinar una normalización global-, entonces tratar las incertidumbres sistemáticas como independientes sobreestimaría la incertidumbre total. En ese caso, podría ponderar las mediciones por su incertidumbre estadística, $$ \left< x \right> = \frac{\sum x_i / (\sigma_\text{stat}^i)^2}{\sum (\sigma_\text{stat}^i)^{-2}}, \quad\text{with statistical uncertainty } (\sigma_\text{stat}^\text{mean})^{-2} = {\sum (\sigma_\text{stat}^i)^{-2}}, $$ y asignar una incertidumbre sistemática separada $\sigma_\text{stat}^\text{mean}$ a la media basada en la propagación ordinaria del error a partir de las mediciones individuales. Por ejemplo si su incertidumbre sistemática es $\sigma_\text{syst}^i/x_i = 1\%$ para todas sus mediciones, podría asignar razonablemente $\sigma_\text{syst}^\text{mean}/\left<x\right> =1\%$ .
Las mediciones reales suelen tener una tabla o una sección en el documento de documentación titulada "Presupuesto de errores" que tabula las estimaciones de los autores para las incertidumbres sistemáticas, y las combinaciones de mediciones reales e independientes tendrán algunas cantidades correlacionadas y otras no. La forma correcta de combinar estas mediciones es construir un matriz de covarianza . Se trata de una tarea no trivial que constituye un largo capítulo en muchas tesis doctorales. Para un debate profundo, véase el apartado 10 de la introducción a la PDG 'Review of Particle Physics'.
Dai
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375
La media de una distribución muestreada $N$ veces es
$$ \bar{x} = 1/N \sum x_i $$
Pero lo que quieres es la media ponderada
$$ \bar{x} = \frac{ \sum w_i x_i }{ \sum w_i } $$
En este caso, para tener en cuenta las incertidumbres de medición, las ponderaciones deben ser la inversa de las varianzas (inversa de las desviaciones típicas $\sigma_i$ al cuadrado, obviamente), o
$$ w_i = 1/\sigma_i^2 $$
