Tengo problemas para probar lo siguiente. Tengo dos hipótesis: $\forall x(P(x) \vee Q(x))$ y $\forall x((\neg P(x) \wedge Q(x)) \rightarrow R(x))$ y la conclusión es $\forall x(\neg R(x) \rightarrow P(x))$ donde el dominio es el mismo. ¿Cómo puedo hacer esto utilizando las reglas de inferencia para los enunciados cuantificados? Lo que hice primero fue utilizar la instanciación universal para ambas hipótesis pero después no estoy seguro de qué hacer. Después de aplicar la instanciación universal tengo $P(c) \vee Q(c)$ para la primera hipótesis y $(\neg P(c) \wedge Q(c) \rightarrow R(c))$ para la segunda hipótesis. Después de esto no sé qué más hacer por favor ayuda.
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Bien: has llegado hasta
$P(c) \vee Q(c)\\ ((\neg P(c) \wedge Q(c)) \rightarrow R(c))$
y su primer objetivo es mostrar $(\neg R(c) \rightarrow P(c))$ . Una vez que puedas derivar eso, entonces puedes generalizar para obtener $\forall x(\neg R(x) \rightarrow P(x))$ .
Esto te deja con un razonamiento directamente proposicional que hacer. Ahora, quieres demostrar un condicional. Por lo tanto, asumir el antecedente $\neg R(c)$ y apuntar al consecuente $P(c)$ .
Recortando la notación, lo que hay que hacer es rellenar una prueba de esta forma:
$(P \lor Q)\\ ((\neg P \land Q) \to R)\\ \quad\quad|\quad \neg R\\ \quad\quad|\quad \vdots\\ \quad\quad|\quad P\\ (\neg R \to P)\quad\quad\quad\quad\text{By conditional proof}$
El modo de hacerlo dependerá de las reglas de inferencia de que disponga. Una regla útil es: en caso de duda, ¡intenta la reductio! En otras palabras, intente
$(P \lor Q)\\ ((\neg P \land Q) \to R)\\ \quad\quad|\quad \neg R\\ \quad\quad|\quad \quad | \quad \neg P\\ \quad\quad|\quad \quad | \quad \vdots\\ \quad\quad|\quad \quad | \quad \bot\\ \quad\quad|\quad \neg\neg P\quad\quad\quad\text{By reductio}\\ \quad\quad|\quad P\\ (\neg R \to P)$
¿Cómo vamos a rellenar esto ahora? Bueno, lo más obvio es hacer uso de la primera premisa y eliminar la disyunción para obtener algo de esta forma
$(P \lor Q)\\ ((\neg P \land Q) \to R)\\ \quad\quad|\quad \neg R\\ \quad\quad|\quad \quad | \quad \neg P\\ \quad\quad|\quad \quad | \quad \quad | \quad P\\ \quad\quad|\quad \quad | \quad \quad | \quad \vdots\\ \quad\quad|\quad \quad | \quad \quad | \quad \bot \\ \quad\quad|\quad \quad | \quad \quad / \\ \quad\quad|\quad \quad | \quad \quad | \quad Q \\ \quad\quad|\quad \quad | \quad \quad | \quad \vdots \\ \quad\quad|\quad \quad | \quad \quad | \quad \bot \\ \quad\quad|\quad \quad | \quad \bot\quad\quad\quad\text{From first premiss and the two [not yet completed] subproofs}\\ \quad\quad|\quad \neg\neg P\\ \quad\quad|\quad P\\ (\neg R \to P)$
La primera subprueba es trivial. Para la segunda subprueba podemos usar la segunda premisa en una inferencia de modus ponens para terminar con ...
$(P \lor Q)\\ ((\neg P \land Q) \to R)\\ \quad\quad|\quad \neg R\\ \quad\quad|\quad \quad | \quad \neg P\\ \quad\quad|\quad \quad | \quad \quad | \quad P\\ \quad\quad|\quad \quad | \quad \quad | \quad \bot \\ \quad\quad|\quad \quad | \quad \quad / \\ \quad\quad|\quad \quad | \quad \quad | \quad Q \\ \quad\quad|\quad \quad | \quad \quad | \quad (\neg P \land Q) \quad\quad\quad\text{Conjunction introduction}\\ \quad\quad|\quad \quad | \quad \quad | \quad R \quad\quad\quad\quad\quad\text{Modus ponens}\\ \quad\quad|\quad \quad | \quad \quad | \quad \bot \quad\quad\quad\quad\quad\text{Since you have $ R $ and $ \N - R $ in play}\\ \quad\quad|\quad \quad | \quad \bot\\ \quad\quad|\quad \neg\neg P\\ \quad\quad|\quad P\\ (\neg R \to P)$
No es la prueba más obvia en la historia de las pruebas de deducción natural para la lógica proposicional, pero se resuelve fácilmente con un poco de pensamiento estratégico. (Los detalles finos dependerán, por supuesto, de la versión de la deducción natural para las conectivas proposicionales con la que se esté trabajando).
