Es $n$ cuadrado libre si $\sigma(n)=2\varphi(n)$ ?

Question

Me quedé atascado en lo siguiente.

Consideremos la función teórica numérica $\sigma(n)$ como la suma del divisor positivo de $n$ y $\varphi(n)$ como la función totiente de Euler que cuenta el número de enteros positivos menores que n y relativamente primos a $n$ .

Tenemos que demostrar/desmentir que si $n\in \mathbb N$ sea una solución de $\sigma(n)=2\varphi(n)$ entonces $n$ debe ser un entero positivo libre al cuadrado.

Creo que esto debería ser cierto, pero no puedo demostrarlo.

Lo que he abordado hasta ahora es lo siguiente:

Diga $n$ no ser libre de la plaza. En ese caso hay al menos un primo $p$ tal que $n=p^{a}m$ donde $m, a\in \mathbb N, a>1, (p,m)=1$ .

Entonces debemos tener $$\frac{p^{a+1}-1}{p-1}\sigma(m)=2p^{a-1}(p-1)\varphi(m)$$

Ni idea de qué hacer a continuación.

He considerado el caso más sencillo: $a=2$ entonces lo anterior se reduce a $$\frac{p^{3}-1}{p-1}\sigma(m)=2p^{ }(p-1)\varphi(m)$$

Aquí RHS $\equiv 0[8]$ . ¿Qué pasa con el LHS? ¿Podemos demostrar que no es congruente con 0 mod 8 de alguna manera, para establecer la contradicción para el caso $a=2$ ?

¿Cómo proceder?

Answer 1

$n=5^3\cdot17\cdot19\cdot79$ ,
$\phi(n)=5^2\cdot4\cdot16\cdot18\cdot78=2^83^35^213$ ,
$\sigma(n)=156\cdot18\cdot20\cdot80=2^93^35^213=2\phi(n)$ .

Del mismo modo, para $n=5^3\cdot13\cdot29\cdot79$ . No sé si estos son los ejemplos más pequeños.