¿Comportamiento fractal a lo largo del límite de convergencia?

Question

La serie de potencias complejas $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{n^2}}{n^2}$$ tiene un radio $1$ (Prueba de la relación) y es absolutamente convergente a lo largo de $|z|=1$ . Recordando algo que mi profesor de cálculo (Ray Mayer, emérito del Reed College) me enseñó hace 15 años, me puse a mirar un "gráfico" de esta función. Más concretamente, se trata de gráficos de las imágenes de $z$ con magnitud constante bajo esta serie de potencias.

(Las curvas mapeadas son las imágenes de $|z|=1$ , $|z|=0.9$ y $|z|=0.8$ . En el extremo derecho se puede ver $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac1{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ .)

Entonces... ¿qué diablos pasa con el comportamiento fractal de la imagen del límite? ¿Se entiende este tipo de comportamiento a partir de las series de potencia? Por ejemplo, girando $z$ por algunos ángulos podría dejarte más o menos la serie original después de un poco de rotación, escalado y traslación. Pero no he sido capaz de ver cómo se uniría todo eso.

Tengo la corazonada de que las "bayas" a lo largo del interior de la hoja ocurren alrededor de valores de $z$ con argumentos interesantes, pero no me he sentado a trazar cuáles podrían ser esos argumentos.

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EDIT: Efectivamente, las "puntas de las hojas" y las "bayas" parecen ocurrir en forma regular $z$ valores. Empezando por la punta de la hoja más grande del cuadrante I y moviéndose en el sentido de las agujas del reloj, las puntas de las hojas son las imágenes de $\exp\left(\frac{\pi}{2}i\right), \exp\left(\frac{\pi}{4}i\right), \exp\left(\frac{\pi}{6}i\right)$ ,... Del mismo modo, empezando por la baya más grande y moviéndose en el sentido de las agujas del reloj, las "semillas" de las bayas son las imágenes de $\exp\left(\frac{\pi}{3}i\right), \exp\left(\frac{\pi}{5}i\right), \exp\left(\frac{\pi}{7}i\right)$ ,...

Parece que el "arco" desde la baya grande del cuadrante IV hasta la baya grande del cuadrante I está parametrizado por $\exp(it)$ con $t\in\left(-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}\right)$ . Además, que la hoja grande del cuadrante I que cruza al cuadrante II está parametrizada por $t\in\left(\frac{3\pi}{7},\frac{3\pi}{5}\right)$ . Estas dos secciones (y de hecho cualquiera de las "hojas", "subhojas", etc.) deberían ser similares en el sentido fractal.

Answer 1

Dejemos que $f(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n^2}}{n^2}$ . Separe esto en las partes con impar $n$ e incluso $n$ : $f_o(z) = \sum_{n \text{ odd}} \frac{z^{n^2}}{n^2}$ , $f_e(z) = \sum_{n \text{ even}} \frac{z^{n^2}}{n^2} = f(z^4)/4$ . Así, $$f(z) = \sum_{j=0}^\infty f_o(z^{4^j})/4^j = f_o(z) + \frac{f_o(z^4)}{4} + \frac{f_o(z^{16})}{16} + \ldots$$ La trama de $f_o(e^{it})$ para $0 \le t \le 2 \pi$ se ve así:

Para producir la trama de $f(e^{it})$ Piensa en un punto que rodea la trama de $f_o$ y luego una segunda que describe un movimiento similar alrededor de ese punto pero con 4 veces la velocidad y 1/4 de la escala, una tercera que va alrededor de la segunda con $4^2$ veces la velocidad y $1/4^2$ la escala del original, etc.

La simetría de la gráfica de $f_o$ se debe al hecho de que $f_o(e^{i\pi/4} z) = e^{i\pi/4} f_o(z)$ así como $f_o(\overline{z}) = \overline{f_o(z)}$ .

$f_o$ se puede separar en partes para $n \equiv 0 \mod 3$ y $n \equiv 1 \text{ or } 2 \mod 3$ : si $g = \sum_{n \equiv 1 \text{ or } 5 \mod 6} z^{n^2}/{n^2}$ tenemos $$f_o(z) = \sum_{j=0}^\infty g(z^{9^j})/9^j = g(z) + \frac{g(z^9)}{9} + \frac{g(z^{81})}{81} + \ldots $$

La trama de $g(e^{it})$ se ve así:

con una simetría que proviene del hecho de que $g(e^{i\pi/12} z) = e^{i\pi/12} g(z)$ .

Answer 2

Aquí está el círculo de entrada siendo deformado lentamente hasta el fractal de salida resultante. gif Código.