Comprensión de una prueba para grupos cíclicos

Question

Este es el teorema:

Aquí está la prueba:

He subrayado en rojo las partes que no he entendido. Para la primera, ¿por qué es $0\leq i-j<1$ ? Para el segundo, ¿por qué es $0\leq r\leq n-1$ ¿es significativo? ¡Lo siento, mi profesor escribió esta prueba hace un año y estoy tratando de entender completamente lo que estaban tratando de decir, ya que todavía soy un principiante...!

Answer 1

Para el primero, ya que no hay natural número con $a^n=e$ El hecho de que $a^{i-j}=e\implies i-j$ no es un número natural. Por otro lado $i-j$ es un número entero. El único número entero que no es natural es $0$ ...

Para la segunda parte, $0\le r\le n-1$ por el algoritmo de la división. Además, hay un error tipográfico. Debería decir: Que $a^k\color{red}{\in} \langle a\rangle$ ...

Answer 2

Para la primera parte: sabes que no hay ningún número entero positivo $n\in \mathbb{N}$ tal que $a^n=e$ . En realidad, esto también implica que no hay ningún número entero no nulo $n\in \mathbb{Z}$ tal que $a^n=e$ (¿ves por qué?). Pero se descubre que si $a^i=a^j$ para algunos enteros $i,j$ entonces $a^{i-j}=e$ . Según lo anterior, la única posibilidad de que esto ocurra es cuando $i-j=0$ Es decir $i=j$ .

Para la segunda parte: toma un número entero cualquiera $k$ y mira el elemento $a^k$ . En realidad, el valor de este elemento sólo depende de la clase de congruencia de $k$ modulo $n$ (el orden de $a$ ). En otras palabras, déjame escribir la división euclidiana de $k$ por $n$ : $k=nq+r$ con $q,r$ dos enteros tales que $0\leq r < n$ . Entonces, tenemos $$a^k=a^{nq+r}=(a^{n})^qa^r=e^qa^r=a^r$$ Pero $r\in \{0,1,\ldots ,n-1\}$ . Así que $a^k\in \{a^0=e,a^1=a,a^2,\ldots ,a^{n-1}\}$ . Esto demuestra que cualquier elemento de la forma $a^k$ (por ejemplo, para $k$ igual $7$ o $k$ igual $-1000000000$ o cualquier otro número entero que se desee) puede calcularse como $a^r$ para algunos pequeños $r$ justo entre $0$ y $n-1$ . Simplifica mucho las cosas. La secuencia de potencias de $a$ sólo toma, periódicamente, un número finito de valores (exactamente $n$ valores distintos).