Convertir entre ecuaciones de elipses paramétricas

Question

Tengo la ecuación paramétrica de una elipse en esta forma:

$$x(t)= a\cos(t)$$

$$y(t)=b\cos(t+\phi)$$

Es una elipse centrada en el origen, con un ángulo de inclinación. Así que tres parámetros.

¿Cómo puedo convertirlo en la forma:

$$x(t)=A\cos(t)\cos(\Phi)-B\sin(t)\sin(\Phi)$$ $$y(t)=A\cos(t)\sin(\Phi)+B\sin(t)\cos(\Phi)$$

es decir, la fórmula de la elipse con una rotación por $\Phi$ ? Evidentemente, tengo que conseguir $A$ , $B$ y $\Phi$ en términos de $a$ , $b$ y $\phi$ pero no veo cómo hacerlo.

Answer 1

Así que tenemos un par de ecuaciones $$ a \cos (t+\tau) = A \cos t \cos \Phi - B \sin t \sin \Phi\\ b \cos (t+\tau+\phi) = A \cos t \sin \Phi + B \sin t \cos \Phi $$ que deben ser iguales para cada $t \in \mathbb R$ . Como ambas fórmulas producen una elipse cuando $t$ se pasa por encima $[u, u+2\pi]$ para cualquier $u$ el valor $\tau$ denota el cambio de parámetros entre las parametrizaciones. Expandiendo el LHS obtenemos $$ a \cos t \cos \tau - a \sin t \sin \tau = A \cos t \cos \Phi - B \sin t \sin \Phi\\ b \cos t \cos(\tau+\phi) - b \sin t \sin (\tau + \phi)= A \cos t \sin \Phi + B \sin t \cos \Phi. $$ Eliminación de $t$ da un sistema de 4 ecuaciones: $$\begin{aligned} a \cos \tau &= A \cos \Phi &\qquad(1)\\ a \sin \tau &= B \sin \Phi &\qquad(2)\\ b \cos (\tau + \phi) &= A \sin \Phi &\qquad(3)\\ b \sin (\tau + \phi) &= -B \cos \Phi &\qquad(4) \end{aligned} $$ que hay que resolver para $\tau, A, B, \Phi$ . Cuadrar y sumar $(1)$ y $(2)$ y lo mismo para $(3), (4)$ da $$ a^2 = A^2 \cos^2 \Phi + B^2 \sin^2 \Phi\\ b^2 = A^2 \sin^2 \Phi + B^2 \cos^2 \Phi $$ y sumando y restando estos dan $$\begin{aligned} a^2 + b^2 &= A^2 + B^2\\ a^2 - b^2 &= A^2 \cos 2\Phi - B^2 \cos 2\Phi \end{aligned} $$ También por $(1)\times(3) + (2)\times(4)$ $$ ab \left( \cos \tau \cos (\tau + \phi) +\sin \tau \sin (\tau + \phi) \right) = (A^2 - B^2) \cos \Phi \sin \Phi\\ 2ab \cos \phi = (A^2-B^2) \sin 2\Phi. $$ Así que $$ A^2 + B^2 = a^2 + b^2\\ (A^2 - B^2) \cos 2\Phi = a^2 - b^2\\ (A^2 - B^2) \sin 2\Phi = 2ab\cos \phi $$ Al resolver el sistema se obtiene $$ \Phi = \frac{1}{2}\arctan \frac{2ab\cos \phi}{a^2 - b^2}\\ A^2 + B^2 = a^2 + b^2\\ A^2 - B^2 = \pm\sqrt{(a^2 - b^2)^2 + 4a^2b^2 \cos^2 \phi} = \pm\sqrt{a^4 + b^4 + 2a^2b^2\cos 2\phi}. $$ Hay que tener cuidado al elegir el signo correcto. En realidad, el signo intercambia el $A$ y $B$ . El signo incorrecto gira la elipse en $\frac{\pi}{2}$ . También se puede añadir $\frac{\pi n}{2}$ a la $\Phi$ y arreglar el cartel.

Ejemplo $a = 1, b = 2, \phi = \frac{\pi}{3}$ $$ \Phi = -\frac{1}{2}\arctan \frac{2}{3}\approx -0.294\\ B = \sqrt{\frac{5+\sqrt{13}}{2}} \approx 2.07431\\ A = \sqrt{\frac{5-\sqrt{13}}{2}} \approx 0.83500\\ $$ He trazado ambas curvas para $t \in \left[0, \frac{15}{8}\pi\right]$ para que puedas ver dónde está el corte.

Answer 2

Una pista:

$$\cos(t+ \phi)=\cos t\cos\phi-\sin t\sin\phi$$

---

Como no sé dónde están los valores de $a$ , $b$ y $\phi$ , tomé $a=2$ , $b=1$ y $\theta=\pi/3$ y tengo esto:

Gráfico