Encontrar el $n$ término de la secuencia de $3, 10, 31, 94, 283$ ...

Question

¿Cómo se calcula el enésimo término de una sucesión que no es aritmética ni geométrica y en la que se utilizan dos operaciones para pasar de un término al siguiente? Por ejemplo, la secuencia $3, 10, 31, 94, 283$ donde cada término es el último que se multiplica $3$ más $1$ . (es decir $u_1 = 3$ y $u_{n+1} = 3u_n + 1$ ). Entonces, ¿hay una forma de generalizarlo donde $u_1 = a$ y $u_{n+1} = bu_n + c$ ?

Este problema formaba parte de una pregunta del Oxford MAT. He intentado encontrar diferencias comunes, sustituir términos y muchos otros métodos. Además, encontré que este problema encaja en un área de las matemáticas llamada relaciones de recurrencia, pero la página de Wikipedia era demasiado confusa para mí, ya que sólo estoy en el año 11 (grado 10), por lo que no ayudó a responder a mi pregunta. Me pregunto si hay una explicación más sencilla para este problema. Gracias de antemano

Answer 1

Hay un buen truco para las secuencias recursivas de este tipo, donde $u_{n+1}$ es una función lineal de $u_n$ : encontrar una constante $r$ tal que $u_{n+1}-r$ es un múltiplo constante de $u_n-r$ . En este caso, el factor de multiplicación de la función lineal es $3$ Así que estamos buscando un $r$ con $u_{n+1}-r = 3(u_n-r)$ . Resolver para $r$ : \begin{align*} u_{n+1}-r &= 3(u_n-r) \\ (3u_n+1)-r &= 3u_n-3r \\ 1+2r &= 0 \\ r &= -\tfrac12. \end{align*}

¿Por qué nos ayuda esto? Porque $u_{n+1}+\frac12 = 3(u_n+\frac12)$ es fácil demostrar por inducción que $u_n+\frac12 = 3^{n-1}(u_1+\frac12)$ para todos $n\ge1$ . (En otras palabras, esta versión ligeramente desplazada de la secuencia es realmente geométrica). Resolviendo para $u_n$ : \begin{align*} u_n+\tfrac12 &= 3^{n-1}(u_1+\tfrac12) \\ u_n &= 3^{n-1}(3+\tfrac12)-\tfrac12 \\ u_n &= \tfrac12(7\cdot3^{n-1}-1). \end{align*} (Por supuesto, hay alguna fórmula que podríamos memorizar y que da la respuesta inmediatamente, lo cual está bien... pero siempre es mejor saber cómo se derivan esas fórmulas en primer lugar).

Answer 2

Observe que \begin{align*} u_{n+1}&=3u_n+1\\ u_n&=3u_{n-1}+1 \end{align*}

Entonces

$$(u_{n+1}-u_n)=3(u_n-u_{n-1}).$$

Definamos $a_n=u_n-u_{n-1}$ entonces la ecuación anterior se puede escribir como $$a_{n+1}=3a_n.$$ Esto nos da

\begin{align*} a_3&=3a_2\\ \vdots & =\vdots\\ a_{n+1}&=3a_n \end{align*} Si los multiplicamos, obtenemos

$$a_{n+1}=3^{n-1}a_2$$

Así que tenemos $$u_{n+1}-u_n=3^{n-1}(u_2-u_1)=3^{n-1} \,7.$$

Ahora añade esto:

\begin{align*} u_2-u_1 &=3^{0} \,7\\ u_3-u_2 &=3^{1} \,7\\ u_4-u_3 &=3^{2} \,7\\ \vdots & =\vdots\\ u_{n+1}-u_n &=3^{n-1} \,7 \end{align*} Para conseguir $$u_{n+1}-u_1=7(3^0+3^1+\dotsb +3^{n-1})$$ Así,

$$u_{n+1}=7\left(\frac{3^n-1}{2}\right)+3 =\frac{1}{2}\left(7. \, 3^{n}-1\right)\quad \text{ for } n \geq \color{red}{0}.$$ De hecho, se puede comprobar la validez de esta expresión introduciendo $n=0$ para conseguir $u_1=3$ con $n=1$ obtenemos $u_2=10$ y así sucesivamente.

Answer 3

Intenta escribir los primeros términos y luego observa cómo se truncan los coeficientes. si el primer término es $u_1$ ,

Encontré que el $n^{th}$ término es:

$$u_n = b^{n-1}u_1 + c*\sum_{i=2}^n a^{n-i}$$

Answer 4

Set $v_n=u_n+a$ para intentar que la recurrencia sea $v_{n+1}=3v_n$ . Por lo tanto, usted quiere $$u_{n+1}+a=3u_n+3a$$ es decir $$3u_n+1+a=3u_n+3a.$$ Por lo tanto, usted quiere $a=1/2$ . Así que la secuencia $v_n$ es $7/2$ , $21/2$ , $63/2$ etc. Entonces $$v_n=3^{n-1}\frac72$$ y $$u_n=3^{n-1}\frac72-\frac12.$$

Answer 5

He calculado esta suma para su secuencia: $$u_{n}=\left (\sum_{i=0}^{n}3^{i} \right ) - 3^{n-1}$$ . Puedes encontrarlo fácilmente si sustituyes recursivamente los valores en la fórmula. Por ejemplo, para $n=4$ es $3^{4}+3^{2}+3^{1}+1$ . Obtengo una progresión geométrica (pero no hay $3^{3}$ ) y la suma en general es: $$u_{n}=\frac{1-3^{n+1}}{1-3}-3^{n-1}$$ . Al final: $$u_{n}=\frac{1}{2}(3^{n+1}-1)-3^{n-1}$$

Para la segunda pregunta: $$u_{n}=ab^{n-1}+\sum_{i=0}^{n-1}cb^{i}=ab^{n-1}+\frac{(cb)^{n-1}-1}{cb-1}$$