Límites superior e inferior para $\int_0^\infty e^{-u(u^\epsilon -1)}\,du$

Question

Estoy interesado en la obtención razonable de límites superiores e inferiores, así como en las técnicas utilizadas para ello, para $\int_0^\infty e^{-u(u^\epsilon -1)}\,du$ para epsilon en alguna vecindad derecha de cero, es decir válido para todos $0<\epsilon<\delta$ con $\delta>0$ . Creo que he podido demostrar que la integral es $\mathcal{O}(1/\epsilon)$ como $\epsilon\to0^+$ utilizando el hecho de que $u^\epsilon -1\ge \epsilon\log u$ y luego $\int_e^\infty e^{-\epsilon u\log u}\,du\le\int_e^\infty e^{-\epsilon u}\,du$ pero no llegó mucho más lejos.

Edición: Parece que gracias al comentario de River Li, ahora tenemos los límites $$\frac{c}{\sqrt{\epsilon}}<\int_0^\infty e^{-u(u^\epsilon -1)}\,du < \frac{C}{\epsilon}$$ para alguna constante $C, c$ en alguna vecindad derecha de cero. ¿Podemos hacerlo mejor?

Answer 1

La integral es asintótica $-1/(\epsilon\log\epsilon)$ como $\epsilon\to0^+$ eso es, $$\int_0^\infty e^{-u(u^\epsilon-1)}\,du=-\frac{f(\epsilon)}{\epsilon\log\epsilon},\qquad\lim_{\epsilon\to0^+}f(\epsilon)=1.$$ De hecho, poner $u=-x/(\epsilon\log\epsilon)$ entonces $f(\epsilon)=\int_0^\infty e^{g(x,\epsilon)}\,dx$ con $\lim\limits_{\epsilon\to0^+}g(x,\epsilon)=-x$ y $$g(x,\epsilon)\leqslant\frac{x}{\log\epsilon}\log\frac{-x}{\epsilon\log\epsilon}\leqslant-x+\frac1e$$ debido a su $u^\epsilon-1\geqslant\epsilon\log u$ y $y\log y\geqslant-1/e$ . Así (por DCT) $$\lim_{\epsilon\to0^+}f(\epsilon)=\int_0^\infty e^{-x}\,dx=1.$$ Un subproducto es un límite superior $\color{blue}{-e^{1/e}/(\epsilon\log\epsilon)}$ para la integral, y debería existir un límite inferior de la misma escala (para un rango acotado de $\epsilon$ ), aunque una explícita puede ser más difícil de obtener.

Answer 2

Enfoque alternativo para un límite inferior con pistas :

Utilice La desigualdad de Gronwall (forma integral) con la igualdad $x,y>0$ y $0<a<1$ :

$$\int_{y}^{x}e^{t^{a+1}+t-t^{a+1}}dt=e^{x}-e^{y}-e^{x^{a+1}}+e^{x^{a+1}}$$

Tal que : $$f(x)=-e^{x}+e^{x^{a+1}}+e^{y}$$ está aumentando en $x\in[y,\infty)$

Editar 11/03/2022 :

Utilizando el resultado anterior y definiendo :

$$f_{k}(x)=\ln\left(\frac{e^{x^{\left(a+1\right)}}}{e^{x^{\left(a+1\right)}}-e^{x}+e^{k}}\right)$$

Así que tenemos :

$$\sum_{k=1}^{n}f_{k}\left(k+1\right)\leq \int_{1}^{n+1}e^{-t\left(t\ ^{a}-1\right)}dt$$

Última edición 12/03/2022 :parece que :

$$\lim_{a\to 0}\frac{\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}\left(k+1\right)}{\int_{1}^{\infty}e^{-t\left(t\ ^{a}-1\right)}dt}=1$$