Ecuaciones diferenciales para un transformador

Question

Me gustaría plantear ecuaciones diferenciales (por favor, sin fasores en las respuestas) para el circuito de abajo:

Hasta ahora tengo dos ecuaciones:

donde asumo un acoplamiento magnético perfecto (por lo que trato a M como una constante conocida).

Las condiciones iniciales son que en el momento=0, tanto i1 como i2 son cero.

El sistema está infradeterminado y tengo que poner una ecuación más. ¿Qué ecuación es?

Mi intención es resolver para i2. Una vez más, por favor, no hay sugerencias con fasores. Estoy buscando un caso más general donde v1 no es necesariamente una función sinusoidal perfecta.

Answer 1

Tienes dos incógnitas, \$i_1, i_2\$ y dos ecuaciones, por lo que sus ecuaciones son resolubles.

La resolución de estas ecuaciones se realiza generalmente mediante la transformada de Laplace.

$$\left\{ \begin{align} i_1R_1 + L_1\frac{di_1}{dt} - M\frac{di_2}{dt} &= v_1(t)\\ -M\frac{di_1}{dt} + i_2R_2 + L_2\frac{di_2}{dt} &= 0 \end{align}\right.$$

Lleva a

$$\left\{ \begin{align} (R_1+L_1s)&\cdot I_1 &- Ms\cdot I_2 & = V_1(s)\\ -Ms&\cdot I_1 &+ (R_2+L_2s)\cdot I_2 & = 0 \end{align}\right.$$

$$I_2 = \frac{\left|\begin{matrix} R_1+L_1s & V_1(s) \\ -Ms & 0 \end{matrix}\right| }{\left|\begin{matrix} R_1+L_1s & -Ms \\ -Ms & R_2+L_2s \end{matrix}\right| }=\frac{Ms\cdot V_1(s)}{(R_1+L_1s)(R_2+L_2s)-M^2s^2}$$

Si prefieres las ecuaciones diferenciales, siempre puedes volver a utilizarlas:

$$\begin{align} \left[(R_1+L_1s)(R_2+L_2s)-M^2s^2\right]\cdot I_2(s) &= Ms\cdot V_1(s)\\ &\Downarrow\\ \left[R_1R_2 + (R_1L_2 + R_2L_1)s + (L_1L_2-M^2)s^2\right]\cdot I_2(s) &= Ms\cdot V_1(s)\\ &\Downarrow \mathcal{L}^{-1}\\ R_1R_2\cdot i_2(t)+(R_1L_2+R_2L_1)\frac{di_2}{dt}+(L_1L_2-M^2)\frac{d^2i_2}{dt^2} &= M\frac{dv_1}{dt} \end{align}$$