Considere un cambio de coordenadas $$ x^a\mapsto \tilde x^a=x^a+\epsilon y^a $$
En la nota que estoy leyendo, el autor calcula el cambio de métrica por $$ g_{ab}(x) = \tilde g_{ab}(\tilde x)=\tilde g_{ab}(x^a+\epsilon y^a)=\tilde g_{ab}(x^a)+\epsilon\mathcal{L}_Y\tilde g_{ab}(x^a)+\cdots $$
Mi pregunta es, ¿por qué usamos $\mathcal{L}_Y\tilde g$ en lugar de $\nabla_Y\tilde g$ en el término de primer orden?
Actualización
Lo siguiente es mi nuevo intento.
Como ha señalado Prahar, debería escribir $$ g_{ab}(x)\mapsto\tilde g_{ab}(\tilde x)=\frac{\partial x^c}{\partial {\tilde x}^a}\frac{\partial x^d}{\partial {\tilde x}^b} g_{cd}(x) $$
Entonces tenemos $$ g_{ab}(x)=\tilde g_{ab}(x^a+\epsilon y^a)=\tilde g_{ab}(x^a)+\epsilon\nabla_Y\tilde g_{ab}(x^a)+\cdots $$
Y tengo que mostrar $$ \nabla_Y\tilde g_{ab}(x^a)=\mathcal{L}_Yg_{ab}(x^a) $$
Tenemos $$ \begin{align} \tilde g_{ab}(x^a)&=\frac{\partial x^c}{\partial {\tilde x}^a}\frac{\partial x^d}{\partial {\tilde x}^b} g_{cd}(x^a)\\ &=\left(\delta_a^c-\epsilon\frac{y^c}{\tilde x^a}\right)\left(\delta_b^d-\epsilon\frac{y^d}{\tilde x^b}\right)\left.\right|_{x^a-\epsilon y^a}g_{cd}(x^a-\epsilon y^a)\\ &=g_{ab}(x^a-\epsilon y^a)-\epsilon\left[\frac{y^d}{\tilde x^b}g_{ad}+\frac{y^c}{\tilde x^a}g_{cd}\right]\left.\right|_{x^a-\epsilon y^a}+O(\epsilon^2)\\ &=g_{ab}(x^a) - \epsilon\nabla_Yg_{ab}(x^a)-\epsilon\left[\frac{y^d}{\tilde x^b}g_{ad}+\frac{y^c}{\tilde x^a}g_{cd}\right]\left.\right|_{x^a} +O(\epsilon^2) \end{align} $$
Así que obtenemos $$ \nabla_Y\tilde g_{ab}(x^a)=\nabla_Yg_{ab}(x^a)-\epsilon\nabla_Y\left(\nabla_Yg_{ab}+\frac{y^d}{\tilde x^b}g_{ad}+\frac{y^c}{\tilde x^a}g_{cd}\right)\left.\right|_{x^a} + O(\epsilon^2) $$
Por otro lado, tenemos $$ \mathcal{L}_Yg_{ab}(x^a)=\nabla_Yg_ab{x^a}+g_{ac}\nabla_bY^c+g_{cb}\nabla_aY^c $$
No veo que estos dos sean idénticos. ¿Hay algo mal en mi deducción?
